Para abordar este problema, eu usaria uma estrutura de programação inteira e definiria três conjuntos de variáveis de decisão:
- x_ij : Uma variável indicadora binária para saber se construímos uma ponte no local da água (i, j).
- y_ijbcn : Um indicador binário para determinar se a localização da água (i, j) é a enésima localização ligando a ilha b à ilha c.
- l_bc : Uma variável indicadora binária para saber se as ilhas bec estão diretamente vinculadas (ou seja, você pode caminhar apenas em quadrados de pontes de b para c).
Para os custos de construção da ponte c_ij , o valor objetivo a minimizar é sum_ij c_ij * x_ij. Precisamos adicionar as seguintes restrições ao modelo:
- Precisamos garantir que as variáveis y_ijbcn sejam válidas. Sempre podemos chegar a um quadrado de água se construirmos uma ponte lá, portanto,
y_ijbcn <= x_ijpara cada local de água (i, j). Além disso, y_ijbc1deve ser igual a 0 se (i, j) não faz fronteira com a ilha b. Finalmente, para n> 1, y_ijbcnsó pode ser usado se um local de água vizinho foi usado na etapa n-1. Definindo N(i, j)ser os quadrados de água vizinhos (i, j), isso é equivalente a y_ijbcn <= sum_{(l, m) in N(i, j)} y_lmbc(n-1).
- Precisamos garantir que as variáveis l_bc sejam definidas apenas se bec estiverem vinculados. Se definirmos
I(c)como os locais que fazem fronteira com a ilha c, isso pode ser feito com l_bc <= sum_{(i, j) in I(c), n} y_ijbcn.
- Precisamos garantir que todas as ilhas estejam conectadas, direta ou indiretamente. Isso pode ser realizado da seguinte maneira: para cada subconjunto próprio não vazio S de ilhas, exigir que pelo menos uma ilha em S esteja ligada a pelo menos uma ilha no complemento de S, que chamaremos de S '. Em restrições, podemos implementar isso adicionando uma restrição para cada conjunto não vazio S de tamanho <= K / 2 (onde K é o número de ilhas)
sum_{b in S} sum_{c in S'} l_bc >= 1,.
Para uma instância de problema com K ilhas, W quadrados de água e comprimento de caminho máximo especificado N, este é um modelo de programação inteira mista com O(K^2WN)variáveis e O(K^2WN + 2^K)restrições. Obviamente, isso se tornará intratável à medida que o tamanho do problema se tornar grande, mas pode ser resolvido para os tamanhos de seu interesse. Para ter uma noção da escalabilidade, vou implementá-la em python usando o pacote pulp. Vamos primeiro começar com o mapa menor de 7 x 9 com 3 ilhas na parte inferior da questão:
import itertools
import pulp
water = {(0, 2): 2.0, (0, 3): 1.0, (0, 4): 1.0, (0, 5): 1.0, (0, 6): 2.0,
(1, 0): 2.0, (1, 1): 9.0, (1, 2): 1.0, (1, 3): 9.0, (1, 4): 9.0,
(1, 5): 9.0, (1, 6): 1.0, (1, 7): 9.0, (1, 8): 2.0,
(2, 0): 1.0, (2, 1): 9.0, (2, 2): 9.0, (2, 3): 1.0, (2, 4): 9.0,
(2, 5): 1.0, (2, 6): 9.0, (2, 7): 9.0, (2, 8): 1.0,
(3, 0): 9.0, (3, 1): 1.0, (3, 2): 9.0, (3, 3): 9.0, (3, 4): 5.0,
(3, 5): 9.0, (3, 6): 9.0, (3, 7): 1.0, (3, 8): 9.0,
(4, 0): 9.0, (4, 1): 9.0, (4, 2): 1.0, (4, 3): 9.0, (4, 4): 1.0,
(4, 5): 9.0, (4, 6): 1.0, (4, 7): 9.0, (4, 8): 9.0,
(5, 0): 9.0, (5, 1): 9.0, (5, 2): 9.0, (5, 3): 2.0, (5, 4): 1.0,
(5, 5): 2.0, (5, 6): 9.0, (5, 7): 9.0, (5, 8): 9.0,
(6, 0): 9.0, (6, 1): 9.0, (6, 2): 9.0, (6, 6): 9.0, (6, 7): 9.0,
(6, 8): 9.0}
islands = {0: [(0, 0), (0, 1)], 1: [(0, 7), (0, 8)], 2: [(6, 3), (6, 4), (6, 5)]}
N = 6
# Island borders
iborders = {}
for k in islands:
iborders[k] = {}
for i, j in islands[k]:
for dx in [-1, 0, 1]:
for dy in [-1, 0, 1]:
if (i+dx, j+dy) in water:
iborders[k][(i+dx, j+dy)] = True
# Create models with specified variables
x = pulp.LpVariable.dicts("x", water.keys(), lowBound=0, upBound=1, cat=pulp.LpInteger)
pairs = [(b, c) for b in islands for c in islands if b < c]
yvals = []
for i, j in water:
for b, c in pairs:
for n in range(N):
yvals.append((i, j, b, c, n))
y = pulp.LpVariable.dicts("y", yvals, lowBound=0, upBound=1)
l = pulp.LpVariable.dicts("l", pairs, lowBound=0, upBound=1)
mod = pulp.LpProblem("Islands", pulp.LpMinimize)
# Objective
mod += sum([water[k] * x[k] for k in water])
# Valid y
for k in yvals:
i, j, b, c, n = k
mod += y[k] <= x[(i, j)]
if n == 0 and not (i, j) in iborders[b]:
mod += y[k] == 0
elif n > 0:
mod += y[k] <= sum([y[(i+dx, j+dy, b, c, n-1)] for dx in [-1, 0, 1] for dy in [-1, 0, 1] if (i+dx, j+dy) in water])
# Valid l
for b, c in pairs:
mod += l[(b, c)] <= sum([y[(i, j, B, C, n)] for i, j, B, C, n in yvals if (i, j) in iborders[c] and B==b and C==c])
# All islands connected (directly or indirectly)
ikeys = islands.keys()
for size in range(1, len(ikeys)/2+1):
for S in itertools.combinations(ikeys, size):
thisSubset = {m: True for m in S}
Sprime = [m for m in ikeys if not m in thisSubset]
mod += sum([l[(min(b, c), max(b, c))] for b in S for c in Sprime]) >= 1
# Solve and output
mod.solve()
for row in range(min([m[0] for m in water]), max([m[0] for m in water])+1):
for col in range(min([m[1] for m in water]), max([m[1] for m in water])+1):
if (row, col) in water:
if x[(row, col)].value() > 0.999:
print "B",
else:
print "-",
else:
print "I",
print ""
Isso leva 1,4 segundos para ser executado usando o solucionador padrão do pacote de celulose (o solucionador CBC) e produz a solução correta:
I I - - - - - I I
- - B - - - B - -
- - - B - B - - -
- - - - B - - - -
- - - - B - - - -
- - - - B - - - -
- - - I I I - - -
Em seguida, considere o problema completo no topo da questão, que é uma grade 13 x 14 com 7 ilhas:
water = {(i, j): 1.0 for i in range(13) for j in range(14)}
islands = {0: [(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1)],
1: [(9, 0), (9, 1), (10, 0), (10, 1), (10, 2), (11, 0), (11, 1),
(11, 2), (12, 0)],
2: [(0, 7), (0, 8), (1, 7), (1, 8), (2, 7)],
3: [(7, 7), (8, 6), (8, 7), (8, 8), (9, 7)],
4: [(0, 11), (0, 12), (0, 13), (1, 12)],
5: [(4, 10), (4, 11), (5, 10), (5, 11)],
6: [(11, 8), (11, 9), (11, 13), (12, 8), (12, 9), (12, 10), (12, 11),
(12, 12), (12, 13)]}
for k in islands:
for i, j in islands[k]:
del water[(i, j)]
for i, j in [(10, 7), (10, 8), (10, 9), (10, 10), (10, 11), (10, 12),
(11, 7), (12, 7)]:
water[(i, j)] = 20.0
N = 7
Os solucionadores de MIP geralmente obtêm boas soluções com relativa rapidez e, então, gastam muito tempo tentando provar a otimização da solução. Usando o mesmo código de solucionador acima, o programa não é concluído em 30 minutos. No entanto, você pode fornecer um tempo limite para o solucionador para obter uma solução aproximada:
mod.solve(pulp.solvers.PULP_CBC_CMD(maxSeconds=120))
Isso resulta em uma solução com valor objetivo 17:
I I - - - - - I I - - I I I
I I - - - - - I I - - - I -
I I - - - - - I - B - B - -
- - B - - - B - - - B - - -
- - - B - B - - - - I I - -
- - - - B - - - - - I I - -
- - - - - B - - - - - B - -
- - - - - B - I - - - - B -
- - - - B - I I I - - B - -
I I - B - - - I - - - - B -
I I I - - - - - - - - - - B
I I I - - - - - I I - - - I
I - - - - - - - I I I I I I
Para melhorar a qualidade das soluções que você obtém, você pode usar um solucionador MIP comercial (gratuito se você estiver em uma instituição acadêmica e provavelmente não será gratuito caso você esteja). Por exemplo, aqui está o desempenho do Gurobi 6.0.4, novamente com um limite de tempo de 2 minutos (embora no log da solução tenhamos lido que o solucionador encontrou a melhor solução atual em 7 segundos):
mod.solve(pulp.solvers.GUROBI(timeLimit=120))
Isso realmente encontra uma solução de valor objetivo 16, melhor do que o OP foi capaz de encontrar manualmente!
I I - - - - - I I - - I I I
I I - - - - - I I - - - I -
I I - - - - - I - B - B - -
- - B - - - - - - - B - - -
- - - B - - - - - - I I - -
- - - - B - - - - - I I - -
- - - - - B - - B B - - - -
- - - - - B - I - - B - - -
- - - - B - I I I - - B - -
I I - B - - - I - - - - B -
I I I - - - - - - - - - - B
I I I - - - - - I I - - - I
I - - - - - - - I I I I I I
