Atualizando a resposta para o estado atual do Azure,
Os serviços de aplicativos agora substituem todos os tipos de aplicativos móveis, Api e da Web como uma única estrutura de aplicativo com todas as funcionalidades acumuladas para tornar as coisas mais acessíveis entre os tipos de aplicativos. Atualmente, todos os aplicativos da Web, móveis e APIs são chamados coletivamente de serviços de aplicativos. Ainda oferecemos ao cliente a capacidade de criar um aplicativo móvel e um aplicativo da Web na galeria, mas isso basicamente se transforma em um aplicativo de serviço de aplicativo.
https://azure.microsoft.com/en-us/documentation/articles/app-service-api-apps-why-best-platform/
Recursos para dispositivos móveis funcionam para aplicativos da Web, bem como tabelas fáceis e API fácil. E recursos para aplicativos de API como API Cors e definições de API agora funcionam em aplicativos da web também. Um cliente pode hospedar um único aplicativo da web para atuar como qualquer serviço móvel ou uma API com todos os recursos oferecidos por meio dos serviços de aplicativo.
Também temos um novo serviço de visualização voltado especialmente para aplicativos de API, oferecendo uma experiência de gerenciamento para suas APIs. Basicamente, você pode controlar a geração de páginas de API de teste, reunir análises de execução, aceleração e muito mais. Confira o blog de recursos para saber mais sobre os recursos de gerenciamento de API do Azure. E sim, você pode hospedar as APIs como um aplicativo de serviço de aplicativo e conectar as coisas com o gerenciamento de API.
https://azure.microsoft.com/en-us/documentation/articles/api-management-get-started/