Estou usando o Visual Studio Code 1.8, e esse recurso está disponível. Mas é um pouco complicado de entender no começo e (no momento da redação) os documentos não explicam claramente como usá-lo, então veja como funciona, passo a passo:
Chamar Substituir nos arquivos (no menu Editar ou com o atalho Ctrl+ Shift+ H)
Você verá uma entrada Localizar / Substituir padrão substituindo o painel de arquivos à esquerda:

Digite sua string de pesquisa e a string de substituição e pressione enter. Pode agitar por um segundo pesquisando todos os arquivos e depois mostrar as alterações propostas em todos os arquivos do seu projeto - mas observe que essas alterações ainda não foram feitas! Aqui está o que parece:

Agora você precisa fazer as alterações (e mesmo depois disso, você deve salvar os arquivos modificados .)
Você pode fazer essas alterações de várias maneiras:
1) Faça todas as alterações em todos os arquivos de uma só vez.
Clique no ícone substituir ao lado da sua cadeia de substituição (nota: você verá uma caixa de diálogo para confirmar esta ação em massa.)

2) Faça todas as alterações em um único arquivo de uma só vez.
Clique no ícone substituir ao lado do nome do arquivo (nota: o ícone só aparece quando você passa o mouse sobre a linha do nome do arquivo)

3) Faça uma única alteração em um único arquivo.
Clique no ícone substituir ao lado da alteração individual: (nota: o ícone só aparece quando você passa o mouse sobre a linha de alteração)

Finalmente, não esqueça de salvar!
Todos esses arquivos agora foram modificados no editor e ainda não foram salvos no disco.
Use Arquivo -> Salvar tudo (ou Ctrl+ Alt+ S)
Atualização: não tenho certeza de quando isso foi adicionado, mas se você clicar no botão "Substituir tudo" e ver esta caixa de diálogo, clicar em "Substituir" mudará e salvará todos os arquivos em um clique:
