A resposta aceita está realmente correta, mas você precisa vinculá-la a um ouvinte de evento para que seja atualizada sempre que a entrada do arquivo for alterada.
document.getElementById('fileInput').onchange = function(){
var filesize = document.getElementById('fileInput').files[0].size;
console.log(filesize);
}
Se você estiver usando a biblioteca jQuery, o código a seguir pode ser útil
$('#fileInput').on('change',function(){
if($(this).get(0).files.length > 0){
var fileSize = $(this).get(0).files[0].size;
console.log(fileSize);
}
});
Dado que a conversão do fileSize para exibir em qualquer métrica é com você.