O que está faltando está em execução composer install, o que importará seus pacotes e criará a pasta do fornecedor, junto com o script de carregamento automático.
Verifique se o caminho relativo está correto. Por exemplo, os scripts de exemplo no PHPMailer estão examples/, abaixo da raiz do projeto, portanto, o caminho relativo correto para carregar o carregador automático do compositor seria ../vendor/autoload.php.
O autoload.php que você encontrou C:\Windows\SysWOW64\vendor\autoload.phpprovavelmente é uma instalação global do compositor - onde você geralmente coloca itens como phpcs, phpunit, phpmd etc.
composer updatenão é a mesma coisa e provavelmente não é o que você deseja usar. Se o seu código for testado com as versões atuais do pacote, a execução updatepoderá causar quebras e exigir mais trabalho e teste, portanto, não execute a updatemenos que você tenha um motivo específico e compreenda exatamente o que isso significa. Para esclarecer mais, você provavelmente só deve executar composer updatelocalmente, nunca no servidor, pois é provável que interrompa os aplicativos em produção.
Muitas vezes vejo reclamações de que as pessoas não podem usar o compositor porque não podem executá-lo em seu servidor (por exemplo, porque é compartilhado e não tem acesso ao shell). Nesse caso, você ainda pode usar o compositer: execute-o localmente (um ambiente que não possui essas restrições) e faça o upload da pasta do fornecedor local que ele gera juntamente com todos os outros scripts PHP.
A execução composer update também executa ae composer install, se você não possui uma vendorpasta no momento (ou seja, você tem uma nova verificação de um projeto), composer installefetivamente executa uma composer update, mas ainda é vital entender a diferença entre as duas, pois elas definitivamente não são intercambiáveis.
Observe que também é possível atualizar um único pacote nomeando-o, por exemplo:
composer update ramsey/uuid
Isso irá resolver novamente a versão especificada no seu composer.jsone instalá-lo na pasta do fornecedor e atualizar seu composer.lockarquivo para corresponder. É muito menos provável que isso cause problemas do que um general, composer updatese você precisar apenas de uma atualização específica para um pacote.
O Composer 2.0 (disponível em breve) deve remover as inconsistências restantes entre os resultados da instalação e atualização.