Qual é a diferença entre Θ (n) e O (n)?

Às vezes vejo Θ (n) com o símbolo Θ estranho com algo no meio, e às vezes apenas O (n). É apenas preguiça de digitar, porque ninguém sabe como digitar esse símbolo ou significa algo diferente?

Breve explicação:

Se um algoritmo é de Θ (g (n)), isso significa que o tempo de execução do algoritmo à medida que n (tamanho da entrada) aumenta é proporcional a g (n).

Se um algoritmo é de O (g (n)), significa que o tempo de execução do algoritmo à medida que n aumenta é no máximo proporcional a g (n).

Normalmente, mesmo quando as pessoas falam sobre O (g (n)), elas realmente significam Θ (g (n)), mas tecnicamente, há uma diferença.

Mais tecnicamente:

O (n) representa o limite superior. Θ (n) significa limite estreito. Ω (n) representa o limite inferior.

f (x) = Θ (g (x)) se f (x) = O (g (x)) ef (x) = Ω (g (x))

Basicamente, quando dizemos que um algoritmo é O (n), também é O (n ² ), O (n ^1000000 ), O (2 ⁿ ), ... mas um algoritmo Θ (n) não é Θ (n ² ) .

De fato, uma vez que f (n) = Θ (g (n)) significa que valores suficientemente grandes de n, f (n) podem ser ligados dentro de c ₁ g (n) e c ₂ g (n) para alguns valores de c ₁ e c ₂ , isto é, a taxa de crescimento de f é igual a assintoticamente g: g pode ser um limite inferior e e um limite superior de f. Isso implica diretamente que f pode ser um limite inferior e um limite superior de g também. Consequentemente,

f (x) = Θ (g (x)) se g (x) = Θ (f (x))

Da mesma forma, para mostrar f (n) = Θ (g (n)), basta mostrar que g é um limite superior de f (isto é, f (n) = O (g (n))) ef é um limite inferior de g (isto é, f (n) = Ω (g (n)), que é exatamente a mesma coisa que g (n) = O (f (n))). Conciso,

f (x) = Θ (g (x)) se f (x) = O (g (x)) eg (x) = O (f (x))

Também existem ωnotações oh e omega ( ) que representam limites superiores e inferiores inferiores de uma função.

Para resumir:

f(x) = O(g(x))(oh grande) significa que a taxa de crescimento de f(x)é assintoticamente menor ou igual à taxa de crescimento de g(x).

f(x) = Ω(g(x))(ômega grande) significa que a taxa de crescimento de f(x)é assintoticamente maior ou igual à taxa de crescimento deg(x)

f(x) = o(g(x))(pouco-oh) significa que a taxa de crescimento de f(x)é assintoticamente menor que a taxa de crescimento de g(x).

f(x) = ω(g(x))(ômega-pequeno) significa que a taxa de crescimento de f(x)é assintoticamente maior que a taxa de crescimento deg(x)

f(x) = Θ(g(x))(teta) significa que a taxa de crescimento de f(x)é assintoticamente igual à taxa de crescimento deg(x)

Para uma discussão mais detalhada, você pode ler a definição na Wikipedia ou consultar um livro clássico como Introdução aos Algoritmos, de Cormen et al.

Existe uma maneira simples (um truque, eu acho) de lembrar qual notação significa o que.

Todas as notações Big-O podem ser consideradas como tendo uma barra.

Ao olhar para Ω, a barra está na parte inferior, portanto é um limite inferior (assintótico).

Ao olhar para Θ, o bar está obviamente no meio. Portanto, é um limite estreito (assintótico).

Ao escrever O, você geralmente termina no topo e desenha um rabisco. Portanto, O (n) é o limite superior da função. Para ser justo, este não funciona com a maioria das fontes, mas é a justificativa original dos nomes.

um é grande "O"

um é Big Theta

http://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation

Big O significa que seu algoritmo será executado em não mais etapas do que em determinada expressão (n ^ 2)

Big Omega significa que seu algoritmo será executado em menos etapas do que na expressão fornecida (n ^ 2)

Quando ambas as condições são verdadeiras para a mesma expressão, você pode usar a notação teta grande ....

Em vez de fornecer uma definição teórica, que já está lindamente resumida aqui, darei um exemplo simples:

Suponha que o tempo de execução de f(i)é O(1). Abaixo está um fragmento de código cujo tempo de execução assintótico é Θ(n). Ele sempre chama a função f(...) nvezes. Tanto o limite inferior quanto o superior são n.

for(int i=0; i<n; i++){
    f(i);
}

O segundo fragmento de código abaixo tem o tempo de execução assintótico de O(n). Ele chama a função f(...) na maioria das n vezes. O limite superior é n, mas o limite inferior pode ser Ω(1)ou Ω(log(n)), dependendo do que acontecer dentro f2(i).

for(int i=0; i<n; i++){
    if( f2(i) ) break;
    f(i);
}

Theta é uma maneira abreviada de se referir a uma situação especial em que o grande O e o Ômega são os mesmos.

Assim, se alguém reivindica The Theta is expression q, então eles também estão necessariamente reivindicando isso Big O is expression qe Omega is expression q.

Analogia aproximada:

Se: Theta afirma: "Esse animal tem 5 patas". segue-se que: Big O é verdadeiro ("Esse animal tem menos que ou igual a 5 pernas.") e Omega é verdadeiro ("Esse animal tem mais que ou igual a 5 pernas".)

É apenas uma analogia grosseira, porque as expressões não são necessariamente números específicos, mas funções de ordens variadas de magnitude, como log (n), n, n ^ 2, (etc.).

Um gráfico pode facilitar a compreensão das respostas anteriores:

Notação Same - mesma ordem | Notação O - Limite superior

Em inglês,

À esquerda, observe que há um limite superior e um inferior que são da mesma ordem de magnitude (ou seja, g (n) ). Ignore as constantes e, se o limite superior e o limite inferior tiverem a mesma ordem de magnitude, pode-se dizer validamente que f (n) = Θ (g (n)) ou f (n) está no grande teta de g (n) .

Começando pelo direito, o exemplo mais simples, ele está dizendo que o limite superior g (n) é simplesmente a ordem de magnitude e ignora a constante c (assim como toda grande notação O ).

f(n)pertence a O(n)se existe positivo kcomof(n)<=k*n

f(n)pertence a Θ(n)se existe positivo k1, k2comok1*n<=f(n)<=k2*n

Artigo da Wikipedia sobre Big O Notation

Usando limites

Vamos considerar f(n) > 0e g(n) > 0para todos n. Não há problema em considerar isso, porque o algoritmo real mais rápido possui pelo menos uma operação e conclui sua execução após o início. Isso simplificará o cálculo, porque podemos usar o valor ( f(n)) em vez do valor absoluto ( |f(n)|).

1. f(n) = O(g(n))

   Geral:

             f(n)     
   0 ≤ lim ──────── < ∞
       n➜∞   g(n)
   

   Para g(n) = n:

             f(n)     
   0 ≤ lim ──────── < ∞
       n➜∞    n
   

   Exemplos:

       Expression               Value of the limit
   ------------------------------------------------
   n        = O(n)                      1
   1/2*n    = O(n)                     1/2
   2*n      = O(n)                      2
   n+log(n) = O(n)                      1
   n        = O(n*log(n))               0
   n        = O(n²)                     0
   n        = O(nⁿ)                     0
   

   Contra-exemplos:

       Expression                Value of the limit
   -------------------------------------------------
   n        ≠ O(log(n))                 ∞
   1/2*n    ≠ O(sqrt(n))                ∞
   2*n      ≠ O(1)                      ∞
   n+log(n) ≠ O(log(n))                 ∞
   

2. f(n) = Θ(g(n))

   Geral:

             f(n)     
   0 < lim ──────── < ∞
       n➜∞   g(n)
   

   Para g(n) = n:

             f(n)     
   0 < lim ──────── < ∞
       n➜∞    n
   

   Exemplos:

       Expression               Value of the limit
   ------------------------------------------------
   n        = Θ(n)                      1
   1/2*n    = Θ(n)                     1/2
   2*n      = Θ(n)                      2
   n+log(n) = Θ(n)                      1
   

   Contra-exemplos:

       Expression                Value of the limit
   -------------------------------------------------
   n        ≠ Θ(log(n))                 ∞
   1/2*n    ≠ Θ(sqrt(n))                ∞
   2*n      ≠ Θ(1)                      ∞
   n+log(n) ≠ Θ(log(n))                 ∞
   n        ≠ Θ(n*log(n))               0
   n        ≠ Θ(n²)                     0
   n        ≠ Θ(nⁿ)                     0
   

Conclusão: consideramos grande O, grande θ e grande Ω como a mesma coisa.

Por quê? Vou dizer o motivo abaixo:

Primeiramente, vou esclarecer uma afirmação errada, algumas pessoas pensam que apenas nos importamos com a pior complexidade de tempo, por isso sempre usamos O grande ao invés de grande θ. Eu vou dizer que esse homem está mentindo. Os limites superior e inferior são usados ​​para descrever uma função, não para descrever a complexidade do tempo. A pior função de tempo tem seu limite superior e inferior; a melhor função de tempo também tem seu limite superior e inferior.

Para explicar claramente a relação entre o grande O e o grande θ, explicarei a relação entre o grande O e o pequeno o primeiro. A partir da definição, podemos saber facilmente que o pequeno é um subconjunto do O grande. Por exemplo:

T (n) = n ^ 2 + n, podemos dizer T (n) = O (n ^ 2), T (n) = O (n ^ 3), T (n) = O (n ^ 4). Mas para o pequeno o, T (n) = o (n ^ 2) não atende à definição de pequeno o. Portanto, apenas T (n) = o (n ^ 3), T (n) = o (n ^ 4) estão corretos para o pequeno. O redundante T (n) = O (n ^ 2) é o quê? É grande θ!

Geralmente, dizemos que grande O é O (n ^ 2), dificilmente dizendo T (n) = O (n ^ 3), T (n) = O (n ^ 4). Por quê? Porque consideramos grande O como grande θ inconscientemente.

Da mesma forma, também consideramos grande Ω como grande θ inconscientemente.

Em uma palavra, grande O, grande θ e grande Ω não são a mesma coisa das definições, mas são a mesma coisa na nossa boca e cérebro.