Mecanicamente, a resposta aceita é, obviamente, correta, mas eu argumentaria que uma resposta mais profunda pode ser dada.
Primeiro, é útil esclarecer a questão como @PeterCordes faz em um comentário: "Existe uma identidade multiplicativa para números complexos que funcione em inf + 0j?" ou em outras palavras é o que OP vê uma fraqueza na implementação de computador de multiplicação complexa ou há algo conceitualmente incorreto cominf+0j
Resposta curta:
Usando coordenadas polares, podemos ver a multiplicação complexa como uma escala e uma rotação. Girando um "braço" infinito mesmo em 0 graus, como no caso da multiplicação por um, não podemos esperar colocar sua ponta com precisão finita. Então, de fato, há algo fundamentalmente errado inf+0j, a saber, que assim que estamos no infinito, um deslocamento finito torna-se sem sentido.
Resposta longa:
Contexto: A "grande coisa" em torno da qual esta questão gira é a questão de estender um sistema de números (pense em reais ou números complexos). Uma razão pela qual alguém pode querer fazer isso é adicionar algum conceito de infinito, ou "compactar" se alguém for um matemático. Existem outros motivos também ( https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory , https://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis ), mas não estamos interessados neles aqui.
Compactação de um ponto
A parte complicada dessa extensão é, obviamente, que queremos que esses novos números se ajustem à aritmética existente. A maneira mais simples é adicionar um único elemento ao infinito ( https://en.wikipedia.org/wiki/Alexandroff_extension ) e torná-lo igual a qualquer coisa, menos zero dividido por zero. Isso funciona para os reais ( https://en.wikipedia.org/wiki/Projectively_extended_real_line ) e os números complexos ( https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sphere ).
Outras extensões ...
Embora a compactação de um ponto seja simples e matematicamente correta, foram buscadas extensões "mais ricas" compreendendo vários infintos. O padrão IEEE 754 para números de ponto flutuante real tem + inf e -inf ( https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line ). Parece natural e direto, mas já nos obriga a saltar obstáculos e inventar coisas como -0 https://en.wikipedia.org/wiki/Signed_zero
... do plano complexo
E quanto às extensões mais de um inf do plano complexo?
Em computadores, os números complexos são geralmente implementados juntando dois reais fp, um para a parte real e outro para a parte imaginária. Isso está perfeitamente bem, desde que tudo seja finito. No entanto, assim que o infinito é considerado, as coisas ficam complicadas.
O plano complexo tem uma simetria rotacional natural, que se encaixa perfeitamente com a aritmética complexa, visto que multiplicar o plano inteiro por e ^ phij é o mesmo que uma rotação phi radiana 0.
Aquela coisa do anexo G
Agora, para manter as coisas simples, o fp complexo simplesmente usa as extensões (+/- inf, nan etc.) da implementação de número real subjacente. Essa escolha pode parecer tão natural que nem mesmo é percebida como uma escolha, mas vamos dar uma olhada mais de perto no que ela implica. Uma visualização simples desta extensão do plano complexo se parece com (I = infinito, f = finito, 0 = 0)
I IIIIIIIII I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I ffff0ffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I IIIIIIIII I
Mas, uma vez que um verdadeiro plano complexo é aquele que respeita a multiplicação complexa, uma projeção mais informativa seria
III
I I
fffff
fffffff
fffffffff
I fffffffff I
I ffff0ffff I
I fffffffff I
fffffffff
fffffff
fffff
I I
III
Nesta projeção, vemos a "distribuição desigual" de infinitos que não é apenas feia, mas também a raiz de problemas do tipo que OP sofreu: a maioria dos infinitos (aqueles das formas (+/- inf, finito) e (finito, + / -inf) são agrupados nas quatro direções principais, todas as outras direções são representadas por apenas quatro infinitos (+/- inf, + -inf). Não deveria ser uma surpresa que estender a multiplicação complexa a esta geometria seja um pesadelo .
O Anexo G da especificação C99 tenta o seu melhor para fazê-lo funcionar, incluindo burlar as regras sobre como infe naninteragir (essencialmente inftrunfos nan). O problema de OP é contornado por não promover reais e um tipo puramente imaginário proposto para complexo, mas ter o real 1 se comportando de maneira diferente do complexo 1 não me parece uma solução. De forma reveladora, o Anexo G deixa de especificar totalmente qual deve ser o produto de dois infinitos.
Podemos fazer melhor?
É tentador tentar corrigir esses problemas escolhendo uma geometria de infinitos melhor. Em analogia com a linha real estendida, poderíamos adicionar um infinito para cada direção. Esta construção é semelhante ao plano projetivo, mas não agrupa direções opostas. Os infinitos seriam representados em coordenadas polares inf xe ^ {2 omega pi i}, a definição de produtos seria direta. Em particular, o problema de OP seria resolvido de forma bastante natural.
Mas é aqui que as boas novas terminam. De certa forma, podemos ser arremessados de volta à estaca zero - não sem razão - exigindo que nossos infinitos de novo estilo suportem funções que extraiam suas partes reais ou imaginárias. A adição é outro problema; adicionando dois infinitos não antípodas, teríamos que definir o ângulo como indefinido, ou seja nan(pode-se argumentar que o ângulo deve estar entre os dois ângulos de entrada, mas não há uma maneira simples de representar essa "nulidade parcial")
Riemann para o resgate
Em vista de tudo isso, talvez a boa e velha compactação de um ponto seja a coisa mais segura a se fazer. Talvez os autores do Anexo G tenham sentido o mesmo ao ordenar uma função cprojque agrupa todos os infinitos.
Aqui está uma pergunta relacionada respondida por pessoas mais competentes no assunto do que eu.
