Você pode usar "mongodump" e "mongorestore" conforme mencionado também. No PHP, você pode usar o shell_exec para executar os comandos. Por exemplo:
$backUpCommand = "mongodump --archive='/tmp/mongodump-dev-db' --db=dev";
shell_exec($backUpCommand);
$restoreCommand = "mongorestore --archive='/tmp/mongodump-dev-db' --db=test --nsFrom='test.*' --nsTo='examples.*'";
shell_exec($restoreCommand);
Observe que nsFrom e nsTo devem renomear o espaço para nome, se necessário. Veja mais detalhes aqui .
Caso você queira copiar o dump para outro host, tente combinar os parâmetros --host do mongorestore. Portanto, nesse caso, seu comando de restauração seria:
$restoreCommand = "mongorestore --host=mongodb1.example.net --port=27017 --username=user --password=$PSWD --authenticationDatabase=admin --archive='/tmp/mongodump-dev-db' --db=test";
shell_exec($restoreCommand);