Criando uma concatenação completamente dependente

Um bom fato verdadeiro sobre concatenação é que, se eu conhecer duas variáveis ​​na equação:

a ++ b = c

Então eu conheço o terceiro.

Gostaria de capturar essa ideia em minha própria concat, para usar uma dependência funcional.

{-# Language DataKinds, GADTs, FlexibleContexts, FlexibleInstances, FunctionalDependencies, KindSignatures, PolyKinds, TypeOperators, UndecidableInstances #-}
import Data.Kind (Type)

class Concatable
   (m  :: k -> Type)
   (as :: k)
   (bs :: k)
   (cs :: k)
   | as bs -> cs
   , as cs -> bs
   , bs cs -> as
   where
     concat' :: m as -> m bs -> m cs

Agora, conjuro uma lista heterogênea da seguinte forma:

data HList ( as :: [ Type ] ) where
  HEmpty :: HList '[]
  HCons  :: a -> HList as -> HList (a ': as)

Mas quando tento declarar isso, Concatabletenho um problema

instance Concatable HList '[] bs bs where
  concat' HEmpty bs = bs
instance
  ( Concatable HList as bs cs
  )
    => Concatable HList (a ': as) bs (a ': cs)
  where
    concat' (HCons head tail) bs = HCons head (concat' tail bs)

Não satisfiz minha terceira dependência funcional. Ou melhor, o compilador acredita que não. Isso ocorre porque o compilador acredita que, em nossa segunda instância, pode ser o caso bs ~ (a ': cs). E poderia ser o caso se Concatable as (a ': cs) cs.

Como posso ajustar minhas instâncias para que todas as três dependências sejam atendidas?

Então, como sugerem os comentários, o GHC não vai descobrir por si só, mas podemos ajudá-lo com um pouco de programação em nível de tipo. Vamos apresentar alguns TypeFamilies. Todas essas funções são traduções bastante diretas da manipulação de lista levantadas para o nível de tipo:

-- | This will produce the suffix of `cs` without `as`
type family DropPrefix (as :: [Type]) (cs :: [Type]) where
  DropPrefix '[] cs = cs
  DropPrefix (a ': as) (a ': cs) = DropPrefix as cs

-- Similar to the logic in the question itself: list concatenation. 
type family Concat (as :: [Type]) (bs :: [Type]) where
  Concat '[] bs = bs
  Concat (head ': tail) bs = head ': Concat tail bs

-- | Naive list reversal with help of concatenation.
type family Reverse (xs :: [Type]) where
  Reverse '[] = '[]
  Reverse (x ': xs) = Concat (Reverse xs) '[x]

-- | This will produce the prefix of `cs` without `bs`
type family DropSuffix (bs :: [Type]) (cs :: [Type]) where
  DropSuffix bs cs = Reverse (DropPrefix (Reverse bs) (Reverse cs))

-- | Same definition of `HList` as in the question
data HList (as :: [Type]) where
  HEmpty :: HList '[]
  HCons :: a -> HList as -> HList (a ': as)

-- | Definition of concatenation at the value level
concatHList :: (cs ~ Concat as bs) => HList as -> HList bs -> HList cs
concatHList HEmpty bs = bs
concatHList (HCons head tail) bs = HCons head (concatHList tail bs)

Com essas ferramentas à nossa disposição, podemos chegar ao objetivo da hora, mas primeiro vamos definir uma função com as propriedades desejadas:

• Capacidade de deduzir csa partir asebs
• Capacidade de deduzir asa partir bsecs
• Capacidade de deduzir bsa partir asecs

Voila:

concatH ::
     (cs ~ Concat as bs, bs ~ DropPrefix as cs, as ~ DropSuffix bs cs)
  => HList as
  -> HList bs
  -> HList cs
concatH = concatHList

Vamos testá-lo:

foo :: HList '[Char, Bool]
foo = HCons 'a' (HCons True HEmpty)

bar :: HList '[Int]
bar = HCons (1 :: Int) HEmpty

λ> :t concatH foo bar
concatH foo bar :: HList '[Char, Bool, Int]
λ> :t concatH bar foo
concatH bar foo :: HList '[Int, Char, Bool]

E, finalmente, o objetivo final:

class Concatable (m :: k -> Type) (as :: k) (bs :: k) (cs :: k)
  | as bs -> cs
  , as cs -> bs
  , bs cs -> as
  where
  concat' :: m as -> m bs -> m cs

instance (cs ~ Concat as bs, bs ~ DropPrefix as cs, as ~ DropSuffix bs cs) =>
         Concatable HList as bs cs where
  concat' = concatH

λ> :t concat' HEmpty bar
concat' HEmpty bar :: HList '[Int]
λ> :t concat' foo bar
concat' foo bar :: HList '[Char, Bool, Int]
λ> :t concat' bar foo
concat' bar foo :: HList '[Int, Char, Bool]