O tipo de gráfico válido pode ser codificado em Dhall?


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Eu gostaria de representar um wiki (um conjunto de documentos que inclui um gráfico direcionado) em Dhall. Esses documentos serão renderizados em HTML e eu gostaria de impedir que links quebrados sejam gerados. Na minha opinião, isso pode ser feito tornando gráficos inválidos (gráficos com links para nós inexistentes) não representáveis ​​através do sistema de tipos ou escrevendo uma função para retornar uma lista de erros em qualquer gráfico possível (por exemplo, "Em gráfico possível" X, Nó A contém um link para um Nó B inexistente ").

Uma representação ingênua da lista de adjacências pode se parecer com isso:

let Node : Type = {
    id: Text,
    neighbors: List Text
}
let Graph : Type = List Node
let example : Graph = [
    { id = "a", neighbors = ["b"] }
]
in example

Como este exemplo evidencia, esse tipo admite valores que não correspondem a gráficos válidos (não há nó com o ID "b", mas o nó com o ID "a" estipula um vizinho com o ID "b"). Além disso, não é possível gerar uma lista desses problemas dobrando os vizinhos de cada Nó, porque o Dhall não suporta comparação de cadeias por design.

Existe alguma representação que permita o cálculo de uma lista de links quebrados ou a exclusão de links quebrados através do sistema de tipos?

ATUALIZAÇÃO: Acabei de descobrir que os Naturals são comparáveis ​​em Dhall. Portanto, suponho que uma função possa ser escrita para identificar quaisquer arestas inválidas ("links quebrados") e duplicar os usos de um identificador se os identificadores fossem Naturals.

A questão original, no entanto, sobre se um tipo de gráfico pode ser definido, permanece.


Representar o gráfico como uma lista de arestas. Os nós podem ser inferidos a partir das arestas existentes. Cada borda consistiria em um nó de origem e um nó de destino, mas para acomodar nós desconectados, o destino pode ser opcional.
chepner 27/02

Respostas:


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Sim, você pode modelar um gráfico de tipo seguro, direcionado e possivelmente cíclico no Dhall, assim:

let List/map =
      https://prelude.dhall-lang.org/v14.0.0/List/map sha256:dd845ffb4568d40327f2a817eb42d1c6138b929ca758d50bc33112ef3c885680

let Graph
    : Type
    =     forall (Graph : Type)
      ->  forall  ( MakeGraph
                  :     forall (Node : Type)
                    ->  Node
                    ->  (Node -> { id : Text, neighbors : List Node })
                    ->  Graph
                  )
      ->  Graph

let MakeGraph
    :     forall (Node : Type)
      ->  Node
      ->  (Node -> { id : Text, neighbors : List Node })
      ->  Graph
    =     \(Node : Type)
      ->  \(current : Node)
      ->  \(step : Node -> { id : Text, neighbors : List Node })
      ->  \(Graph : Type)
      ->  \ ( MakeGraph
            :     forall (Node : Type)
              ->  Node
              ->  (Node -> { id : Text, neighbors : List Node })
              ->  Graph
            )
      ->  MakeGraph Node current step

let -- Get `Text` label for the current node of a Graph
    id
    : Graph -> Text
    =     \(graph : Graph)
      ->  graph
            Text
            (     \(Node : Type)
              ->  \(current : Node)
              ->  \(step : Node -> { id : Text, neighbors : List Node })
              ->  (step current).id
            )

let -- Get all neighbors of the current node
    neighbors
    : Graph -> List Graph
    =     \(graph : Graph)
      ->  graph
            (List Graph)
            (     \(Node : Type)
              ->  \(current : Node)
              ->  \(step : Node -> { id : Text, neighbors : List Node })
              ->  let neighborNodes
                      : List Node
                      = (step current).neighbors

                  let nodeToGraph
                      : Node -> Graph
                      =     \(node : Node)
                        ->  \(Graph : Type)
                        ->  \ ( MakeGraph
                              :     forall (Node : Type)
                                ->  forall (current : Node)
                                ->  forall  ( step
                                            :     Node
                                              ->  { id : Text
                                                  , neighbors : List Node
                                                  }
                                            )
                                ->  Graph
                              )
                        ->  MakeGraph Node node step

                  in  List/map Node Graph nodeToGraph neighborNodes
            )

let {- Example node type for a graph with three nodes

           For your Wiki, replace this with a type with one alternative per document
        -}
    Node =
      < Node0 | Node1 | Node2 >

let {- Example graph with the following nodes and edges between them:

                       Node0 ↔ Node1
                         ↓
                       Node2
                         ↺

           The starting node is Node0
        -}
    example
    : Graph
    = let step =
                \(node : Node)
            ->  merge
                  { Node0 = { id = "0", neighbors = [ Node.Node1, Node.Node2 ] }
                  , Node1 = { id = "1", neighbors = [ Node.Node0 ] }
                  , Node2 = { id = "2", neighbors = [ Node.Node2 ] }
                  }
                  node

      in  MakeGraph Node Node.Node0 step

in  assert : List/map Graph Text id (neighbors example) === [ "1", "2" ]

Essa representação garante a ausência de arestas quebradas.

Também transformei esta resposta em um pacote que você pode usar:

Editar: Aqui estão recursos relevantes e explicações adicionais que podem ajudar a esclarecer o que está acontecendo:

Primeiro, comece pelo seguinte tipo de Haskell para uma árvore :

data Tree a = Node { id :: a, neighbors :: [ Tree a ] }

Você pode pensar nesse tipo como uma estrutura de dados lenta e potencialmente infinita, representando o que você obteria se apenas continuasse visitando vizinhos.

Agora, vamos fingir que a Treerepresentação acima é realmente nossa Graphapenas renomeando o tipo de dados para Graph:

data Graph a = Node { id :: a, neighbors :: [ Graph a ] }

... mas mesmo que desejássemos usar esse tipo, não temos como modelar diretamente esse tipo no Dhall porque a linguagem Dhall não fornece suporte interno para estruturas de dados recursivas. Então, o que fazemos?

Felizmente, existe realmente uma maneira de incorporar estruturas de dados recursivas e funções recursivas em uma linguagem não recursiva como Dhall. De fato, existem duas maneiras!

A primeira coisa que li que me apresentou a esse truque foi o seguinte rascunho de Wadler:

... mas posso resumir a ideia básica usando os dois seguintes tipos de Haskell:

{-# LANGUAGE RankNTypes #-}

-- LFix is short for "Least fixed point"
newtype LFix f = LFix (forall x . (f x -> x) -> x)

... e:

{-# LANGUAGE ExistentialQuantification #-}

-- GFix is short for "Greatest fixed point"
data GFix f = forall x . GFix x (x -> f x)

A maneira que LFixe GFixtrabalho é que você pode dar-lhes "uma camada" de sua recursiva desejado ou tipo "corecursive" (ou seja, of ) e, em seguida, dar-lhe algo que é tão poderoso como o tipo desejado sem a necessidade de suporte de idioma para a recursividade ou corecursion .

Vamos usar listas como um exemplo. Podemos modelar "uma camada" de uma lista usando o seguinte ListFtipo:

-- `ListF` is short for "List functor"
data ListF a next = Nil | Cons a next

Compare essa definição com a forma como normalmente definiríamos uma OrdinaryListdefinição de tipo de dados recursivo comum:

data OrdinaryList a = Nil | Cons a (OrdinaryList a)

A principal diferença é que ListFleva um parâmetro de tipo extra (next ), que usamos como espaço reservado para todas as ocorrências recursivas / corecursivas do tipo.

Agora, equipado com ListF, podemos definir listas recursivas e corecursivas como esta:

type List a = LFix (ListF a)

type CoList a = GFix (ListF a)

... Onde:

  • List é uma lista recursiva implementada sem suporte ao idioma para recursão
  • CoList é uma lista corecursiva implementada sem suporte ao idioma para corecursão

Ambos os tipos são equivalentes a ("isomórfico para") [], significando que:

  • Você pode converter e voltar reversivelmente entre Liste[]
  • Você pode converter e voltar reversivelmente entre CoListe[]

Vamos provar que, definindo essas funções de conversão!

fromList :: List a -> [a]
fromList (LFix f) = f adapt
  where
    adapt (Cons a next) = a : next
    adapt  Nil          = []

toList :: [a] -> List a
toList xs = LFix (\k -> foldr (\a x -> k (Cons a x)) (k Nil) xs)

fromCoList :: CoList a -> [a]
fromCoList (GFix start step) = loop start
  where
    loop state = case step state of
        Nil           -> []
        Cons a state' -> a : loop state'

toCoList :: [a] -> CoList a
toCoList xs = GFix xs step
  where
    step      []  = Nil
    step (y : ys) = Cons y ys

Portanto, o primeiro passo na implementação do tipo Dhall foi converter o Graphtipo recursivo :

data Graph a = Node { id :: a, neighbors :: [ Graph a ] }

... à representação co-recursiva equivalente:

data GraphF a next = Node { id ::: a, neighbors :: [ next ] }

data GFix f = forall x . GFix x (x -> f x)

type Graph a = GFix (GraphF a)

... embora para simplificar um pouco os tipos, acho mais fácil me especializar GFixno caso em que f = GraphF:

data GraphF a next = Node { id ::: a, neighbors :: [ next ] }

data Graph a = forall x . Graph x (x -> GraphF a x)

Haskell não possui registros anônimos como Dhall, mas, se o tivesse, poderíamos simplificar ainda mais o tipo ao incluir a definição de GraphF:

data Graph a = forall x . MakeGraph x (x -> { id :: a, neighbors :: [ x ] })

Agora, isso está começando a se parecer com o tipo Dhall para a Graph, especialmente se substituirmos xpor node:

data Graph a = forall node . MakeGraph node (node -> { id :: a, neighbors :: [ node ] })

No entanto, ainda há uma última parte complicada, que é como traduzir o ExistentialQuantificationde Haskell para Dhall. Acontece que você sempre pode converter quantificação existencial em quantificação universal (ou seja forall) usando a seguinte equivalência:

exists y . f y ≅ forall x . (forall y . f y -> x) -> x

Eu acredito que isso se chama "skolemization"

Para mais detalhes, consulte:

... e esse truque final fornece o tipo de Dhall:

let Graph
    : Type
    =     forall (Graph : Type)
      ->  forall  ( MakeGraph
                  :     forall (Node : Type)
                    ->  Node
                    ->  (Node -> { id : Text, neighbors : List Node })
                    ->  Graph
                  )
      ->  Graph

... onde forall (Graph : Type)desempenha o mesmo papel que forall xna fórmula anterior e forall (Node : Type)desempenha o mesmo papel que forall yna fórmula anterior.


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Muito obrigado por esta resposta e por todo o trabalho necessário para desenvolver o Dhall! Você poderia sugerir que algum novato em material do Dhall / System F pudesse ler para entender melhor o que você fez aqui, que outras possíveis representações gráficas podem existir? Eu gostaria de poder estender o que você fez aqui para escrever uma função que possa produzir a representação da lista de adjacências a partir de qualquer valor do seu tipo de gráfico por meio de uma primeira pesquisa aprofundada.
Bjørn Westergard

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@ BjørnWestergard: De nada! Eu editei minha resposta para explicar a teoria por trás disso, incluindo referências úteis
Gabriel Gonzalez
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