Defina a variável de ambiente PGPASSWORD dentro do script antes de chamar o psql
PGPASSWORD=pass1234 psql -U MyUsername myDatabaseName
Para referência, consulte http://www.postgresql.org/docs/current/static/libpq-envars.html
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Desde o Postgres 9.2, também existe a opção de especificar uma cadeia de conexão ou URI que possa conter o nome de usuário e a senha.
Usar isso é um risco à segurança, porque a senha é visível em texto sem formatação quando se olha para a linha de comando de um processo em execução, por exemplo, usando ps
(Linux), ProcessExplorer (Windows) ou ferramentas similares, por outros usuários.
Consulte também esta pergunta em Administradores de banco de dados