Defina a variável de ambiente PGPASSWORD dentro do script antes de chamar o psql
PGPASSWORD=pass1234 psql -U MyUsername myDatabaseName
Para referência, consulte http://www.postgresql.org/docs/current/static/libpq-envars.html
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Desde o Postgres 9.2, também existe a opção de especificar uma cadeia de conexão ou URI que possa conter o nome de usuário e a senha.
Usar isso é um risco à segurança, porque a senha é visível em texto sem formatação quando se olha para a linha de comando de um processo em execução, por exemplo, usando ps(Linux), ProcessExplorer (Windows) ou ferramentas similares, por outros usuários.
Consulte também esta pergunta em Administradores de banco de dados