INTRODUÇÃO : Eu tenho uma lista de mais de 30.000 valores inteiros variando de 0 a 47, inclusive, por exemplo, [0,0,0,0,..,1,1,1,1,...,2,2,2,2,...,47,47,47,...]amostras de alguma distribuição contínua. Os valores na lista não estão necessariamente em ordem, mas a ordem não importa para esse problema.

PROBLEMA : Com base na minha distribuição, gostaria de calcular o valor-p (a probabilidade de ver valores maiores) para qualquer valor. Por exemplo, como você pode ver, o valor de p para 0 se aproximaria de 1 e o valor de p para números mais altos tenderia a 0.

Não sei se estou certo, mas para determinar as probabilidades, acho que preciso ajustar meus dados a uma distribuição teórica mais adequada para descrever meus dados. Suponho que seja necessário algum tipo de teste de qualidade do ajuste para determinar o melhor modelo.

Existe uma maneira de implementar essa análise em Python ( Scipyou Numpy)? Você poderia apresentar algum exemplo?

Obrigado!

Ajuste de distribuição com erro de soma do quadrado (SSE)

Esta é uma atualização e modificação da resposta de Saullo , que usa a lista completa das scipy.statsdistribuições atuais e retorna a distribuição com o menor SSE entre o histograma da distribuição e o histograma dos dados.

Exemplo de ajuste

Usando o conjunto de dados El Niño destatsmodels , as distribuições são adequadas e o erro é determinado. A distribuição com o menor erro é retornada.

Todas as distribuições

Distribuição Best Fit

Código de exemplo

%matplotlib inline

import warnings
import numpy as np
import pandas as pd
import scipy.stats as st
import statsmodels as sm
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt

matplotlib.rcParams['figure.figsize'] = (16.0, 12.0)
matplotlib.style.use('ggplot')

# Create models from data
def best_fit_distribution(data, bins=200, ax=None):
    """Model data by finding best fit distribution to data"""
    # Get histogram of original data
    y, x = np.histogram(data, bins=bins, density=True)
    x = (x + np.roll(x, -1))[:-1] / 2.0

    # Distributions to check
    DISTRIBUTIONS = [        
        st.alpha,st.anglit,st.arcsine,st.beta,st.betaprime,st.bradford,st.burr,st.cauchy,st.chi,st.chi2,st.cosine,
        st.dgamma,st.dweibull,st.erlang,st.expon,st.exponnorm,st.exponweib,st.exponpow,st.f,st.fatiguelife,st.fisk,
        st.foldcauchy,st.foldnorm,st.frechet_r,st.frechet_l,st.genlogistic,st.genpareto,st.gennorm,st.genexpon,
        st.genextreme,st.gausshyper,st.gamma,st.gengamma,st.genhalflogistic,st.gilbrat,st.gompertz,st.gumbel_r,
        st.gumbel_l,st.halfcauchy,st.halflogistic,st.halfnorm,st.halfgennorm,st.hypsecant,st.invgamma,st.invgauss,
        st.invweibull,st.johnsonsb,st.johnsonsu,st.ksone,st.kstwobign,st.laplace,st.levy,st.levy_l,st.levy_stable,
        st.logistic,st.loggamma,st.loglaplace,st.lognorm,st.lomax,st.maxwell,st.mielke,st.nakagami,st.ncx2,st.ncf,
        st.nct,st.norm,st.pareto,st.pearson3,st.powerlaw,st.powerlognorm,st.powernorm,st.rdist,st.reciprocal,
        st.rayleigh,st.rice,st.recipinvgauss,st.semicircular,st.t,st.triang,st.truncexpon,st.truncnorm,st.tukeylambda,
        st.uniform,st.vonmises,st.vonmises_line,st.wald,st.weibull_min,st.weibull_max,st.wrapcauchy
    ]

    # Best holders
    best_distribution = st.norm
    best_params = (0.0, 1.0)
    best_sse = np.inf

    # Estimate distribution parameters from data
    for distribution in DISTRIBUTIONS:

        # Try to fit the distribution
        try:
            # Ignore warnings from data that can't be fit
            with warnings.catch_warnings():
                warnings.filterwarnings('ignore')

                # fit dist to data
                params = distribution.fit(data)

                # Separate parts of parameters
                arg = params[:-2]
                loc = params[-2]
                scale = params[-1]

                # Calculate fitted PDF and error with fit in distribution
                pdf = distribution.pdf(x, loc=loc, scale=scale, *arg)
                sse = np.sum(np.power(y - pdf, 2.0))

                # if axis pass in add to plot
                try:
                    if ax:
                        pd.Series(pdf, x).plot(ax=ax)
                    end
                except Exception:
                    pass

                # identify if this distribution is better
                if best_sse > sse > 0:
                    best_distribution = distribution
                    best_params = params
                    best_sse = sse

        except Exception:
            pass

    return (best_distribution.name, best_params)

def make_pdf(dist, params, size=10000):
    """Generate distributions's Probability Distribution Function """

    # Separate parts of parameters
    arg = params[:-2]
    loc = params[-2]
    scale = params[-1]

    # Get sane start and end points of distribution
    start = dist.ppf(0.01, *arg, loc=loc, scale=scale) if arg else dist.ppf(0.01, loc=loc, scale=scale)
    end = dist.ppf(0.99, *arg, loc=loc, scale=scale) if arg else dist.ppf(0.99, loc=loc, scale=scale)

    # Build PDF and turn into pandas Series
    x = np.linspace(start, end, size)
    y = dist.pdf(x, loc=loc, scale=scale, *arg)
    pdf = pd.Series(y, x)

    return pdf

# Load data from statsmodels datasets
data = pd.Series(sm.datasets.elnino.load_pandas().data.set_index('YEAR').values.ravel())

# Plot for comparison
plt.figure(figsize=(12,8))
ax = data.plot(kind='hist', bins=50, normed=True, alpha=0.5, color=plt.rcParams['axes.color_cycle'][1])
# Save plot limits
dataYLim = ax.get_ylim()

# Find best fit distribution
best_fit_name, best_fit_params = best_fit_distribution(data, 200, ax)
best_dist = getattr(st, best_fit_name)

# Update plots
ax.set_ylim(dataYLim)
ax.set_title(u'El Niño sea temp.\n All Fitted Distributions')
ax.set_xlabel(u'Temp (°C)')
ax.set_ylabel('Frequency')

# Make PDF with best params 
pdf = make_pdf(best_dist, best_fit_params)

# Display
plt.figure(figsize=(12,8))
ax = pdf.plot(lw=2, label='PDF', legend=True)
data.plot(kind='hist', bins=50, normed=True, alpha=0.5, label='Data', legend=True, ax=ax)

param_names = (best_dist.shapes + ', loc, scale').split(', ') if best_dist.shapes else ['loc', 'scale']
param_str = ', '.join(['{}={:0.2f}'.format(k,v) for k,v in zip(param_names, best_fit_params)])
dist_str = '{}({})'.format(best_fit_name, param_str)

ax.set_title(u'El Niño sea temp. with best fit distribution \n' + dist_str)
ax.set_xlabel(u'Temp. (°C)')
ax.set_ylabel('Frequency')

Existem 82 funções de distribuição implementadas no SciPy 0.12.0 . Você pode testar como alguns deles se ajustam aos seus dados usando o fit()método deles . Verifique o código abaixo para obter mais detalhes:

import matplotlib.pyplot as plt
import scipy
import scipy.stats
size = 30000
x = scipy.arange(size)
y = scipy.int_(scipy.round_(scipy.stats.vonmises.rvs(5,size=size)*47))
h = plt.hist(y, bins=range(48))

dist_names = ['gamma', 'beta', 'rayleigh', 'norm', 'pareto']

for dist_name in dist_names:
    dist = getattr(scipy.stats, dist_name)
    param = dist.fit(y)
    pdf_fitted = dist.pdf(x, *param[:-2], loc=param[-2], scale=param[-1]) * size
    plt.plot(pdf_fitted, label=dist_name)
    plt.xlim(0,47)
plt.legend(loc='upper right')
plt.show()

Referências:

- Distribuições apropriadas, qualidade de ajuste, valor de p. É possível fazer isso com o Scipy (Python)?

- Acessório de distribuição com Scipy

E aqui uma lista com os nomes de todas as funções de distribuição disponíveis no Scipy 0.12.0 (VI):

dist_names = [ 'alpha', 'anglit', 'arcsine', 'beta', 'betaprime', 'bradford', 'burr', 'cauchy', 'chi', 'chi2', 'cosine', 'dgamma', 'dweibull', 'erlang', 'expon', 'exponweib', 'exponpow', 'f', 'fatiguelife', 'fisk', 'foldcauchy', 'foldnorm', 'frechet_r', 'frechet_l', 'genlogistic', 'genpareto', 'genexpon', 'genextreme', 'gausshyper', 'gamma', 'gengamma', 'genhalflogistic', 'gilbrat', 'gompertz', 'gumbel_r', 'gumbel_l', 'halfcauchy', 'halflogistic', 'halfnorm', 'hypsecant', 'invgamma', 'invgauss', 'invweibull', 'johnsonsb', 'johnsonsu', 'ksone', 'kstwobign', 'laplace', 'logistic', 'loggamma', 'loglaplace', 'lognorm', 'lomax', 'maxwell', 'mielke', 'nakagami', 'ncx2', 'ncf', 'nct', 'norm', 'pareto', 'pearson3', 'powerlaw', 'powerlognorm', 'powernorm', 'rdist', 'reciprocal', 'rayleigh', 'rice', 'recipinvgauss', 'semicircular', 't', 'triang', 'truncexpon', 'truncnorm', 'tukeylambda', 'uniform', 'vonmises', 'wald', 'weibull_min', 'weibull_max', 'wrapcauchy'] 

fit()O método mencionado por @Saullo Castro fornece estimativas de máxima verossimilhança (MLE). A melhor distribuição para os seus dados é aquela que lhe dá o mais alto, podendo ser determinada de várias maneiras diferentes: como

1, o que oferece a maior probabilidade de log.

2, o que fornece os menores valores de AIC, BIC ou BICc (consulte o wiki: http://en.wikipedia.org/wiki/Akaike_information_criterion , basicamente pode ser visto como uma probabilidade de log ajustada para o número de parâmetros, como distribuição com mais espera-se que os parâmetros se ajustem melhor)

3, aquele que maximiza a probabilidade posterior bayesiana. (consulte o wiki: http://en.wikipedia.org/wiki/Posterior_probability )

Obviamente, se você já possui uma distribuição que deve descrever seus dados (com base nas teorias de seu campo específico) e deseja se manter fiel a isso, pulará a etapa de identificação da distribuição de melhor ajuste.

scipynão vem com uma função para calcular a probabilidade do log (embora o método MLE seja fornecido), mas o código rígido é fácil: consulte As funções de densidade de probabilidade incorporadas do `scipy.stat.distributions` são mais lentas que as fornecidas pelo usuário?

AFAICU, sua distribuição é discreta (e nada além de discreta). Portanto, apenas contar as frequências de valores diferentes e normalizá-los deve ser suficiente para seus propósitos. Então, um exemplo para demonstrar isso:

In []: values= [0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4]
In []: counts= asarray(bincount(values), dtype= float)
In []: cdf= counts.cumsum()/ counts.sum()

Assim, a probabilidade de ver valores maiores do que 1é simplesmente (de acordo com a função de distribuição cumulativa complementar (ccdf) :

In []: 1- cdf[1]
Out[]: 0.40000000000000002

Observe que o ccdf está intimamente relacionado à função de sobrevivência (sf) , mas também é definido com distribuições discretas, enquanto o sf é definido apenas para distribuições contíguas.

Parece-me um problema de estimativa de densidade de probabilidade.

from scipy.stats import gaussian_kde
occurences = [0,0,0,0,..,1,1,1,1,...,2,2,2,2,...,47]
values = range(0,48)
kde = gaussian_kde(map(float, occurences))
p = kde(values)
p = p/sum(p)
print "P(x>=1) = %f" % sum(p[1:])

Consulte também http://jpktd.blogspot.com/2009/03/using-gaussian-kernel-density.html .

Experimente a distfitbiblioteca.

pip install distfit

# Create 1000 random integers, value between [0-50]
X = np.random.randint(0, 50,1000)

# Retrieve P-value for y
y = [0,10,45,55,100]

# From the distfit library import the class distfit
from distfit import distfit

# Initialize.
# Set any properties here, such as alpha.
# The smoothing can be of use when working with integers. Otherwise your histogram
# may be jumping up-and-down, and getting the correct fit may be harder.
dist = distfit(alpha=0.05, smooth=10)

# Search for best theoretical fit on your empirical data
dist.fit_transform(X)

> [distfit] >fit..
> [distfit] >transform..
> [distfit] >[norm      ] [RSS: 0.0037894] [loc=23.535 scale=14.450] 
> [distfit] >[expon     ] [RSS: 0.0055534] [loc=0.000 scale=23.535] 
> [distfit] >[pareto    ] [RSS: 0.0056828] [loc=-384473077.778 scale=384473077.778] 
> [distfit] >[dweibull  ] [RSS: 0.0038202] [loc=24.535 scale=13.936] 
> [distfit] >[t         ] [RSS: 0.0037896] [loc=23.535 scale=14.450] 
> [distfit] >[genextreme] [RSS: 0.0036185] [loc=18.890 scale=14.506] 
> [distfit] >[gamma     ] [RSS: 0.0037600] [loc=-175.505 scale=1.044] 
> [distfit] >[lognorm   ] [RSS: 0.0642364] [loc=-0.000 scale=1.802] 
> [distfit] >[beta      ] [RSS: 0.0021885] [loc=-3.981 scale=52.981] 
> [distfit] >[uniform   ] [RSS: 0.0012349] [loc=0.000 scale=49.000] 

# Best fitted model
best_distr = dist.model
print(best_distr)

# Uniform shows best fit, with 95% CII (confidence intervals), and all other parameters
> {'distr': <scipy.stats._continuous_distns.uniform_gen at 0x16de3a53160>,
>  'params': (0.0, 49.0),
>  'name': 'uniform',
>  'RSS': 0.0012349021241149533,
>  'loc': 0.0,
>  'scale': 49.0,
>  'arg': (),
>  'CII_min_alpha': 2.45,
>  'CII_max_alpha': 46.55}

# Ranking distributions
dist.summary

# Plot the summary of fitted distributions
dist.plot_summary()

# Make prediction on new datapoints based on the fit
dist.predict(y)

# Retrieve your pvalues with 
dist.y_pred
# array(['down', 'none', 'none', 'up', 'up'], dtype='<U4')
dist.y_proba
array([0.02040816, 0.02040816, 0.02040816, 0.        , 0.        ])

# Or in one dataframe
dist.df

# The plot function will now also include the predictions of y
dist.plot()

Observe que, neste caso, todos os pontos serão significativos devido à distribuição uniforme. Você pode filtrar com o dist.y_pred, se necessário.

Com o OpenTURNS , eu usaria os critérios da BIC para selecionar a melhor distribuição que se encaixa nesses dados. Isso ocorre porque esse critério não oferece muitas vantagens às distribuições que possuem mais parâmetros. De fato, se uma distribuição tiver mais parâmetros, é mais fácil para a distribuição ajustada estar mais próxima dos dados. Além disso, o Kolmogorov-Smirnov pode não fazer sentido neste caso, porque um pequeno erro nos valores medidos terá um enorme impacto no valor-p.

Para ilustrar o processo, carrego os dados do El-Nino, que contêm 732 medições mensais de temperatura de 1950 a 2010:

import statsmodels.api as sm
dta = sm.datasets.elnino.load_pandas().data
dta['YEAR'] = dta.YEAR.astype(int).astype(str)
dta = dta.set_index('YEAR').T.unstack()
data = dta.values

É fácil obter as 30 fábricas de distribuição univariadas internas com o GetContinuousUniVariateFactoriesmétodo estático. Uma vez feito, o BestModelBICmétodo estático retorna o melhor modelo e a pontuação BIC correspondente.

sample = ot.Sample(data, 1)
tested_factories = ot.DistributionFactory.GetContinuousUniVariateFactories()
best_model, best_bic = ot.FittingTest.BestModelBIC(sample,
                                                   tested_factories)
print("Best=",best_model)

que imprime:

Best= Beta(alpha = 1.64258, beta = 2.4348, a = 18.936, b = 29.254)

Para comparar graficamente o ajuste ao histograma, uso os drawPDFmétodos da melhor distribuição.

import openturns.viewer as otv
graph = ot.HistogramFactory().build(sample).drawPDF()
bestPDF = best_model.drawPDF()
bestPDF.setColors(["blue"])
graph.add(bestPDF)
graph.setTitle("Best BIC fit")
name = best_model.getImplementation().getClassName()
graph.setLegends(["Histogram",name])
graph.setXTitle("Temperature (°C)")
otv.View(graph)

Isso produz:

Mais detalhes sobre este tópico são apresentados no documento BestModelBIC . Seria possível incluir a distribuição Scipy na SciPyDistribution ou mesmo com as distribuições ChaosPy com ChaosPyDistribution , mas acho que o script atual cumpre os objetivos mais práticos.

Perdoe-me se eu não entender sua necessidade, mas e quanto a armazenar seus dados em um dicionário em que as chaves seriam os números entre 0 e 47 e valorizem o número de ocorrências de suas chaves relacionadas na sua lista original?
Assim, sua probabilidade p (x) será a soma de todos os valores para chaves maiores que x divididos por 30000.