( Honestidade e integridade matemática - dado o número de votos nesta "resposta" - levaram-me a editar essa resposta. Esperei o máximo possível, porque ela pretendia ser uma piada curta e não como algo "profundo", para qualquer explicação parecia contrária ao objetivo. No entanto, os comentários estão deixando claro que devo ficar claro para evitar mal-entendidos. )
Minha resposta original:
O texto desta parte da especificação:
Se for 0, quero defini-lo como 1, caso contrário, defina-o como 0.
implica que a solução mais precisa é:
v = dirac_delta(0,v)
Em primeiro lugar, a confissão: eu queria chegar em minhas funções delta confuso. O delta do Kronecker teria sido um pouco mais apropriado, mas não tanto quanto eu queria algo independente do domínio (o delta do Kronecker é usado principalmente apenas para números inteiros). Mas eu realmente não deveria ter usado funções delta, eu deveria ter dito:
v = characteristic_function({0},v)
Deixe-me esclarecer. Recorde-se que uma função é um triplo, (X, Y, F) , em que X e Y são grupos (o chamado domínio e codomain respectivamente) e f é um regra que atribui um elemento de Y para cada elemento de X . Muitas vezes escrever o triplo (X, Y, f) como f: X → Y . Dado um subconjunto de X , digamos A , existe uma função característica que é uma função χ A : X → {0,1}(também pode ser pensado como uma função para um codomain maior, como ℕ ou ℝ). Esta função é definida pela regra:
χ A (x) = 1 , se x ∈ A e χ A (x) = 0 se x ∉ Uma .
Se você gosta de tabelas verdade, é a tabela verdade para a pergunta "O elemento x de X é um elemento do subconjunto A ?".
Portanto, a partir dessa definição, fica claro que a função característica é o que é necessário aqui, com X um grande conjunto contendo 0 e A = {0} . Isso é o que eu deveria ter escrito.
E assim, para funções delta. Para isso, precisamos saber sobre integração. Ou você já sabe ou não. Caso contrário, nada do que eu possa dizer aqui irá falar sobre os meandros da teoria, mas posso dar um resumo de uma frase. Uma medida em um conjunto X é essencialmente "aquilo que é necessário para fazer as médias funcionarem". Isto é, se tivermos um conjunto X e uma medida μ nesse conjunto, haverá uma classe de funções X → ℝ , denominada funções mensuráveis para as quais a expressão ∫ X f dμ faz sentido e, em algum sentido vago, a "média" de f sobre X .
Dada uma medida em um conjunto, pode-se definir uma "medida" para subconjuntos desse conjunto. Isso é feito atribuindo a um subconjunto a integral de sua função característica (assumindo que essa seja uma função mensurável). Isso pode ser infinito ou indefinido (os dois são sutilmente diferentes).
Existem muitas medidas por aí, mas há duas que são importantes aqui. Uma é a medida padrão na linha real, ℝ. Para esta medida, então ∫ ℝ f dμ é praticamente o que se ensina na escola (é cálculo ainda ensinada nas escolas?): Soma-se pequenos retângulos e tomar larguras menores e menores. Nesta medida, a medida de um intervalo é sua largura. A medida de um ponto é 0.
Outra medida importante, que funciona em qualquer conjunto, é chamada de medida pontual . É definido para que a integral de uma função seja a soma de seus valores:
∫ X f dμ = ∑ x fX f (x)
Essa medida atribui a cada conjunto singleton a medida 1. Isso significa que um subconjunto possui uma medida finita se e somente se ela própria é finita. E muito poucas funções têm integral finito. Se uma função tem uma integral finita, ela deve ser diferente de zero apenas em um número contável de pontos. Portanto, a grande maioria das funções que você provavelmente conhece não possui integral finita sob essa medida.
E agora para funções delta. Vamos dar uma definição muito ampla. Temos um espaço mensurável (X, μ) (de modo que é um conjunto com uma medida sobre ele) e um elemento a ∈ X . "Definimos" a função delta (dependendo de a ) para ser a "função" δ a : X → ℝ com a propriedade que δ a (x) = 0 se x ≠ a e ∫ X δ a dμ = 1 .
O fato mais importante sobre isso para se manter em contato é o seguinte: A função delta não precisa ser uma função . É não corretamente definido: Eu não disse que ô um (a) é.
O que você faz neste momento depende de quem você é. O mundo aqui se divide em duas categorias. Se você é matemático, diz o seguinte:
Ok, então a função delta pode não estar definida. Vamos dar uma olhada em suas propriedades hipotéticas e ver se podemos encontrar um lar adequado para onde é definido. Podemos fazer isso e terminamos com distribuições . Essas não são (necessariamente) funções, mas são coisas que se comportam um pouco como funções, e geralmente podemos trabalhar com elas como se fossem funções; mas há certas coisas que eles não têm (como "valores"), por isso precisamos ter cuidado.
Se você não é um matemático, diz o seguinte:
Ok, então a função delta pode não estar definida corretamente. Quem diz isso? Um monte de matemáticos? Ignore-os! O que eles sabem?
Tendo agora ofendido meu público, continuarei.
O dirac delta geralmente é considerado a função delta de um ponto (geralmente 0) na linha real com sua medida padrão. Portanto, aqueles que estão reclamando nos comentários sobre eu não conhecer meus deltas estão fazendo isso porque estão usando essa definição. Para eles, peço desculpas: embora eu possa me esquivar disso usando a defesa do matemático (como popularizada por Humpty Dumpty : simplesmente redefina tudo para que esteja correto), é uma má forma usar um termo padrão para significar algo diferente.
Mas não é uma função delta que faz o que eu quero fazer e é isso que eu preciso aqui. Se eu tomar uma medida de ponto em um conjunto X , então não é uma função genuína δ um : X → ℝ que satisfaça os critérios de uma função delta. Isto é porque nós estamos olhando para uma função X → ℝ que é zero, exceto em um e tal que a soma de todos os seus valores é 1. função Tal é simples: a peça faltando apenas de informação é o seu valor em um , e para que a soma seja 1, apenas atribuímos o valor 1. Isso não é outro senão a função característica em {a} . Então:
∫ X δ a dμ = ∑ x ∈ X δ a (x) = δ a (a) = 1.
Portanto, neste caso, para um conjunto de singleton, a função característica e a função delta concordam.
Em conclusão, existem três famílias de "funções" aqui:
- As funções características de conjuntos singleton,
- As funções delta,
- O delta do Kronecker funciona.
O segundo deles é o mais geral, já que qualquer um dos outros é um exemplo disso ao usar a medida pontual. Mas o primeiro e o terceiro têm a vantagem de serem sempre funções genuínas. O terceiro, na verdade, é um caso especial do primeiro, para uma família específica de domínios (números inteiros ou algum subconjunto deles).
Então, finalmente, quando escrevi a resposta originalmente, não estava pensando direito (não diria que estava confuso , pois espero ter demonstrado que sei o que estou falando quando Na verdade, penso primeiro, não pensei muito). O significado usual do delta dirac não é o que se quer aqui, mas um dos pontos da minha resposta foi que o domínio de entrada não foi definido, de modo que o delta Kronecker também não estaria certo. Assim, a melhor resposta matemática (que eu estava buscando) teria sido a função característica .
Espero que tudo esteja claro; e também espero que nunca precise escrever uma peça matemática novamente usando entidades HTML em vez de macros TeX!