Em java, não há nada como literal de caractere vazio ; em outras palavras, '' não tem significado diferente de "", o que significa um literal String vazio
O mais próximo que você pode representar um caractere vazio de caracteres é através de um caractere de comprimento zero [], algo como:
char[] cArr = {}; // cArr is a zero length array
char[] cArr = new char[0] // this does the same
Se você se referir à classe String, o construtor padrão cria uma sequência de caracteres vazia usando new char[0]
Além disso, o uso de Character.MIN_VALUE não está correto porque não é realmente um caractere vazio, e sim o menor valor do caractere de tipo.
Também não gosto Character c = null;
como solução, principalmente porque o jvm lançará o NPE se tentar desempacotá-lo. Em segundo lugar, nulo é basicamente uma referência a nada, e aqui estamos lidando com o tipo primitivo que não aceita nulo como um valor possível.
Supondo que na string, digamos str, o OP queira substituir todas as ocorrências de um caractere, diga 'x', por caractere vazio '' e tente usar:
str.replace("x", "");