Use o qflag para o modo silencioso e diga wgetpara output para stdout com O-(o maiúsculo) e redirecione para /dev/nullpara descartar a saída:
wget -qO- $url &> /dev/null
>redireciona a saída do aplicativo (para um arquivo). se >for precedido por e comercial, o shell redirecionará todas as saídas (erro e normal) para o arquivo à direita de >. Se você não especificar e comercial, somente a saída normal será redirecionada.
./app &> file # redirect error and standard output to file
./app > file # redirect standard output to file
./app 2> file # redirect error output to file
se o arquivo for /dev/null, tudo será descartado.
Isso também funciona e é mais simples:
wget -O/dev/null -q $url