Como a medição de um qubit afeta os outros?

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Para representar o estado de um computador quântico, todos os qubits contribuem para um vetor de estado (esta é uma das principais diferenças entre a computação quântica e a computação clássica, como eu a entendo). Meu entendimento é que é possível medir apenas um qubit de um sistema de múltiplos qubits. Como medir esse qubit afeta todo o sistema (especificamente, como isso afeta o vetor de estado)?

quantum-state measurement

— urze
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Existem muitas maneiras diferentes de analisar os qubits, e o formalismo do vetor de estado é apenas uma delas. Em um sentido linear-algébrico geral, uma medida é uma projeção sobre uma base. Aqui vou fornecer uma visão com um exemplo do ponto de vista observável de Pauli, que é o modelo de circuito usual do CQ.

Em primeiro lugar, é de interesse em que base o vetor de estado está sendo fornecido - todo operador de medição vem com um conjunto de valores próprios e quaisquer que sejam as medidas que você analisa (por exemplo $X,Y,Z, XX, XZ$ , etc.) determine a melhor base para você escrever o vetor de estado. A maneira mais fácil de responder sua pergunta é se você souber qual base é do seu interesse e, o mais importante,se ela é compatível com a medida que você acabou de fazer.

Portanto, para simplificar, digamos que você comece com dois qubits acoplados em um estado arbitrário escrito no $Z$ para ambos os qubits:

| ψ ⟩ = a | 0_{Z} ⟩ \otimes | 0_{Z} ⟩ + b | 0_{Z} ⟩ \otimes | 1_{Z} ⟩ + c | 1_{Z} ⟩ \otimes | 0_{Z} ⟩ + d | 1_{Z} ⟩ \otimes | 1_{Z} ⟩

$| \psi \rangle = a | 0_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle +b | 0_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle + c | 1_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle + d | 1_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle$

As medições mais simples possíveis que você poderia fazer seria , que é o operador no primeiro qubit, seguido por , o operador no segundo qubit. O que faz a medição? Ele projeta o estado em um dos eigenstates. Você pode pensar nisso como eliminar todas as respostas possíveis que são inconsistentes com a que acabamos de medir. Por exemplo, digamos que medimos e obtemos o resultado , o estado resultante que teríamos seria: $Z_{1}$ $Z$ $Z_{2}$ $Z$ $Z_{1}$ $1$

| ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{| c |^{2} + | d |^{2}}} (c | 1_{Z} ⟩ \otimes | 0_{Z} ⟩ + d | 1_{Z} ⟩ \otimes | 1_{Z} ⟩)

$| \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{|c|^{2} +|d|^{2}}} \left(c | 1_{Z} \rangle \otimes | 0_{Z} \rangle + d | 1_{Z} \rangle \otimes | 1_{Z} \rangle \right)$

Observe que o coeficiente na frente é apenas para renormalização. Portanto, nossa probabilidade de medir é $Z_{2}=0$ . Observe que isso é diferente da probabilidade que tínhamos no estado inicial, que era. $\frac{1}{|c|^{2} +|d|^{2}} |c^{2}|$ $|a|^{2}+|c|^{2}$

Suponha que a próxima medida que você faz não comuta com a anterior, no entanto. Isso é mais complicado porque você precisa implementar uma mudança de base no vetor de estado para entender as probabilidades. Com as medidas de Pauli, porém, tende a ser fácil, pois as bases próprias se relacionam de uma maneira agradável, ou seja:

| 0_{Z} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0_{X} ⟩ + | 1_{X} ⟩)

$| 0_{Z} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0_{X}\rangle + |1_{X} \rangle )$

| 1_{Z} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0_{X} ⟩ - | 1_{X} ⟩)

$| 1_{Z} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0_{X}\rangle - |1_{X} \rangle )$

Uma boa maneira de verificar sua compreensão: Qual é a probabilidade de medir após a medição acima? Qual é a probabilidade se não tivermos feito a medição de ? Uma pergunta mais complicada é examinar os operadores de produtos que atuam em ambos os qubits de uma só vez, por exemplo, como uma medição de afeta o estado inicial? Aqui mede o produto dos dois operadores. $X= +1$ $Z_{1}=1$ $Z_{1}$ $Z_{1}Z_{2}=+1$ $Z_{1}Z_{2}$

— Emily Tyhurst
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Nice and simple answer. I think it is important to note, that what you describe is only true if you a) perform projective measurements and b) you know the outcome of the measurement. Just keep in mind that in general you will need mixed states to describe the post-measurement state.

— M. Stern

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Suponha que, antes da medição, seu sistema de qubit esteja em algum estado , onde é o espaço de Hilbert de um único qbit. Escrever para alguns coeficientes tal que $n$ $\lvert \psi \rangle \in \mathcal H_2^{\otimes n}$ $\mathcal H_2 \cong \mathbb C^2$

| ψ ⟩ = \sum_{x \in {0, 1}^{n}} u_{x} | x ⟩

$\lvert \psi \rangle = \sum_{x \in \{0,1\}^n} u_x \lvert x \rangle$

u_{x} \in C

$u_x \in \mathbb C$

.

\sum_{x} | u_{x} |^{2} = 1

$\sum_x \lvert u_x \rvert^2 = 1$

Se você estiver medindo o primeiro qubit na base padrão, defina
$\begin{aligned} | φ_{0} ⟩ & = \sum_{x^{'} \in {0, 1}^{n - 1}} u_{0 x^{'}} | 0 ⟩ | x^{'} ⟩, \\ | φ_{1} ⟩ & = \sum_{x^{'} \in {0, 1}^{n - 1}} u_{1 x^{'}} | 1 ⟩ | x^{'} ⟩, \end{aligned}$ $\begin{aligned} \lvert \varphi_0 \rangle &= \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! u_{0x'} \,\lvert0\rangle \lvert x' \rangle, \\ \lvert \varphi_1 \rangle &= \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! u_{1x'} \,\lvert1\rangle \lvert x' \rangle,\end{aligned}$ and let $\lvert \psi_0 \rangle = \lvert \varphi_0 \rangle \big/\! \sqrt{\langle \varphi_0 \vert \varphi_0 \rangle}\,$ and $\,\lvert \psi_1 \rangle = \lvert \varphi_1 \rangle \big/\! \sqrt{\langle \varphi_1 \vert \varphi_1 \rangle}\,$ $\lvert 0 \rangle$ $\lvert \psi_0 \rangle$ $\lvert 1 \rangle$ $\lvert \psi_1 \rangle$ .
$\lvert \psi_0 \rangle$ $\lvert 0 \rangle$ , and $\lvert \psi_1 \rangle$ as the state of the system conditioned on the first qubit being $\lvert 1 \rangle$ (except of course that the story is a bit more complicated, on account of the fact that the first qubit is not "secretly" in either the state $0$ or $1$ ).
The above is not strongly dependent on measuring the first qubit: we can define $\lvert \varphi_0 \rangle$ and $\lvert \varphi_1 \rangle$ in terms of fixing any particular bit in the bit string $x$ to either $0$ or $1$ , summing over only those components which are consistent with either the choice $0$ or $1$ , and proceeding as above.
The above is also not strongly dependent on measuring in the standard basis, as Emily indicates. If we wish to consider measuring the first qubit in the basis $\lvert \alpha \rangle, \lvert \beta \rangle$ , where $\lvert \alpha \rangle = \alpha_0 \lvert 0 \rangle + \alpha_1 \lvert 1 \rangle$ and $\lvert \beta \rangle = \beta_0 \lvert 0 \rangle + \beta_1 \lvert 1 \rangle$ , we define
$\begin{aligned} | φ_{0} ⟩ & = (| α ⟩ ⟨ α | \otimes I^{\otimes n - 1}) | ψ ⟩ = \sum_{x^{'} \in {0, 1}^{n - 1}} (α_{0}^{*} u_{0 x^{'}} + α_{1}^{*} u_{1 x^{'}}) | α ⟩ | x^{'} ⟩, \\ | φ_{1} ⟩ & = (| β ⟩ ⟨ β | \otimes I^{\otimes n - 1}) | ψ ⟩ = \sum_{x^{'} \in {0, 1}^{n - 1}} (β_{0}^{*} u_{0 x^{'}} + β_{1}^{*} u_{1 x^{'}}) | β ⟩ | x^{'} ⟩, \end{aligned}$ $\begin{aligned} \lvert \varphi_0 \rangle &= \Bigl(\lvert \alpha \rangle\!\langle \alpha \lvert \otimes I^{\otimes n-1}\Bigr)\lvert \psi\rangle = \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! \bigl(\alpha_0^\ast u_{0x'} + \alpha_1^\ast u_{1x'}\bigr) \,\lvert\alpha\rangle \lvert x' \rangle\,, \\ \lvert \varphi_1 \rangle &= \Bigl(\lvert \beta\rangle\!\langle \beta \lvert \otimes I^{\otimes n-1}\Bigr)\lvert \psi\rangle = \!\!\!\!\!\sum_{x' \in \{0,1\}^{n-1}}\!\!\!\!\!\! \bigl(\beta_0^\ast u_{0x'} + \beta_1^\ast u_{1x'}\bigr) \,\lvert\beta\rangle \lvert x' \rangle\,, \end{aligned}$ and then proceeding as above.

— Niel de Beaudrap
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Less formally-stated than the other answers, but for beginners I like the intuitive method outlined by Prof. Vazirani in this video.

Suppose you have a general two-qbit state:

$|\psi\rangle = \begin{bmatrix} \alpha_{00} \\ \alpha_{01} \\ \alpha_{10} \\ \alpha_{11} \end{bmatrix} = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle + \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle$

Now suppose you measure the most-significant (leftmost) qbit in the computational basis (as in, collapse it to either $|0\rangle$ or $|1\rangle$ ). There are two questions we might ask:

What is the probability that the measured qbit collapses to $|0\rangle$ ? What about $|1\rangle$ ?
What is the state of the 2-qbit system after measurement?

For the first question, the intuitive answer is this: take the sum of squares of all amplitudes associated with the value for which you want to find the probability of collapse. So, if you want to know the probability of the measured qbit collapsing to $|0\rangle$ , you'd look at the amplitudes associated with cases $|00\rangle$ and $|01\rangle$ , because those are the cases where the measured qbit is $|0\rangle$ . Thus:

$P[|0\rangle] = |\alpha_{00}|^2 + |\alpha_{01}|^2$

Similarly, for $|1\rangle$ you look at the amplitudes associated with cases $|10\rangle$ and $|11\rangle$ , so:

$P[|1\rangle] = |\alpha_{10}|^2 + |\alpha_{11}|^2$

As for the state of the 2-qbit system after measurement, what you do is cross out all the components of the superposition which are inconsistent with the answer you got. So, if you measured $|0\rangle$ , then the state after measurement is:

$\require{cancel} |\psi\rangle = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle + \cancel{\alpha_{10}|10\rangle} + \cancel{\alpha_{11}|11\rangle} = \alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle$

However, this state is not normalized - the sum of squares does not add up to 1, and so you have to normalize it:

$|\psi\rangle = \frac{\alpha_{00}|00\rangle + \alpha_{01}|01\rangle}{\sqrt{|\alpha_{00}|^2 + |\alpha_{01}|^2}}$

Similarly, if you measured $|1\rangle$ then you'd get:

$\require{cancel} |\psi\rangle = \cancel{\alpha_{00}|00\rangle} + \cancel{\alpha_{01}|01\rangle} + \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle = \alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle$

Normalized:

$|\psi\rangle = \frac{\alpha_{10}|10\rangle + \alpha_{11}|11\rangle}{\sqrt{|\alpha_{10}|^2 + |\alpha_{11}|^2}}$

And that's how you calculate the action of measuring one qbit in a multi-qbit state, in the simplest case!

— ahelwer
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