Qual é a justificativa matemática para a "universalidade" do conjunto universal de portas quânticas (CNOT, H, Z, X e π / 8)?

Em esta resposta que mencionado que o CNOT, H, X, Z e portas formar um conjunto universal de portas, que dada em número suficiente de portas pode obter arbitrariamente perto de replicar qualquer portão quântico unitária (vim a saber sobre esta fato das palestras EdX do professor Umesh Vazirani). Mas, existe alguma justificativa matemática para isso? Deve haver! Tentei procurar documentos relevantes, mas não consegui encontrar muita coisa. $\pi/8$

quantum-gate universal-gates gate-synthesis

— Sanchayan Dutta
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Respostas:

A resposta que você menciona faz referência ao livro de Michael Nielsen e Isaac Chuang, Quantum Computation and Quantum Information (Cambridge University Press), que contém uma prova da universalidade desses portões. (Na minha edição de 2000, isso pode ser encontrado na pág. 194.) O insight principal é que o portão (ou portão ), junto com o $T$ $\pi/8$ $H$ portão , gera duas rotações diferentes na esfera de Bloch com ângulos que são múltiplos irracionais de . Isso permite combinações de e $2\pi$ $T$ $H$ portas preencham densamente a superfície da esfera de Bloch e, assim, se aproximem de qualquer operador unitário de um qubit.

Que isso pode ser feito com eficiência é mostrado pelo teorema de Solovay-Kitaev . Aqui, "eficientemente" significa polinômio no , onde é a precisão desejada. Isso também é comprovado no livro de Nielsen e Chuang (apêndice 3 na edição de 2000). Uma construção explícita pode ser encontrada em https://arxiv.org/abs/quant-ph/0505030 . $\log(1/\epsilon)$ $\epsilon$

A combinação de portões CNOT permite aproximar unidades arbitrárias de vários qubit, como mostrado por Barenco et al. em Phys. Rev. A 52 3457 (1995). (Uma pré-impressão deste artigo pode ser encontrada em https://arxiv.org/abs/quant-ph/9503016 .) Isso também é discutido em Nielsen e Chuang (p. 191 na edição de 2000).

— Brian R. La Cour
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Pode-se obter um resultado ainda mais forte usando Kliuchnikov, Maslov e Mosca, comprovados em Giles Selinger .

— AHusain

Você não precisa mesmo de e . , e são suficientes. $Z$ $X$
$\rm{CNOT}$ $H$ $T=\pi/8$

1) e são suficientes para fazer qualquer transformação unitária possível em um qubit. 2) Adicionando , você pode sintetizar uma transformação unitária geral em qualquer erro usando apenas portas . $H$ $T$
$\rm{CNOT}$ $\epsilon>0$ $\mathcal{O}(\log^2(1/\epsilon))$

Se você deseja que o erro seja e só deseja adicionar a porta de fase , ainda é possível , se e somente se os elementos da unidade que você deseja criar forem da forma: $\epsilon=0$ $\pi/2$ $\frac{a+ib}{2^n} + \frac{c+id}{2^{n+1/2}}$

Outro conjunto de portão universal é $\{{\rm{CCNOT}},H\}$ ${D(\theta)}$ .

— user1271772
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No entanto, o CCNOT + H é universal em um sentido diferente: é universalmente computacional, mas não pode realizar nenhum portão.

— Norbert Schuch

@ NorbertSchuch: O único problema com o CCNOT + H é o fato de ele não conseguir portas de 2 qubit? Isso também não é um problema com o portão da Deutsch? Se um conjunto de portas puder simular qualquer cálculo quântico com

ϵ > 0

$\epsilon>0$ , então certamente pode simular qualquer porta quântica com arbitrária

ϵ > 0

$\epsilon>0$ ?

— User1271772

Não. Ele não consegue realizar nenhuma porta com coeficientes complexos (= não reais), por razões óbvias. É computacionalmente universal, ou seja, pode executar qualquer q. computação, mas não o faz implementando individualmente os referidos portões, mas com alguma realização equivalente. Então, se você deseja realizar unitaries (que parece ser o ponto da questão), é não um conjunto portão universal.

— Norbert Schuch

@ NorbertSchuch: Um exemplo de computação quântica está simulando uma unidade complexa. Portanto, se CCNOT + H pode fazer qualquer q. computação, ele não pode se aproximar arbitrariamente de simular qualquer unidade?

— User1271772

O CCNOT e o H têm apenas entradas reais. Não há maneira de obter QUALQUER porta com entradas complexas. --- De maneira geral, existem (pelo menos) três noções de "simulação": obtenha qualquer unidade, obtenha as estatísticas de medição de um computador quântico ou resolva um problema de BQP. CCNOT + H é universal no 2º (e 3º) sentido, mas não no primeiro.

— Norbert Schuch