Dada uma decomposição para um

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Suponha que tenhamos uma decomposição do circuito de um unitário usando algum conjunto de portas universal (por exemplo, portas CNOT e unidades de qubit único). Existe uma maneira direta de anotar o circuito da unitária controlada correspondente usando o mesmo conjunto de portas universais? $U$ $C_U$

Por exemplo, considere , como um circuito: $U=i Y = H X H X$

Podemos substituir os portões $X$ pelos portões $C_X$ (CNOT) para obter $C_U$ :

Isso funciona porque se o qubit de controle estiver no estado $|0\rangle$ a acção sobre o alvo é $H^2=\mathbb{I}$ , enquanto que para $|1\rangle$ aplica-se o circuito para $U$ . Para diferente $U$ , em particular se ele atua em vários qubits, criar um circuito como esse pode ser complicado. Existe uma receita para obter o circuito de $C_U$ dado que você sabe como construir $U$ ?

— M. Stern
fonte

você está perguntando como criar uma UC a partir de um U de um qubit arbitrário? Um método para fazer isso pode ser encontrado no capítulo 4 da N&C (veja, por exemplo, a figura 4.6 da última edição), que é basicamente a generalização da decomposição que você mostrou

— glS

@glS oh uau, eu não estava ciente disso. Parece exatamente como o meu exemplo. É bom ver como ele implementa a fase

. Mas eles não parecem discutir a generalização para mais qubits de destino?

α

$\alpha$

— M. Stern

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A questão pode não estar totalmente bem definida, no sentido de que, para solicitar uma maneira de calcular partir de uma decomposição de é necessário especificar o conjunto de portas que você deseja usar. De fato, é um resultado conhecido que qualquer porta de qubit pode ser decomposta exatamente usando e operações de um único qubit, de modo que uma resposta ingênua à pergunta seria: simplesmente decomponha usando um único qubit e $C(U)$ $U$ $n$ $\text{CNOT}$ $C(U)$ $\text{CNOT}$ s.

Uma interpretação diferente da pergunta é a seguinte: dado , posso calcular usando um conjunto de operações de qubit único e não está no qubit de controle e s com o controle sendo o primeiro qubit? Isso pode ser feito generalizando um resultado encontrado no capítulo quatro da Nielsen & Chuang . $U$ $C(U)$ $\text{CNOT}$ $\text{CNOT}$

Seja um portão de um qubit único. Pode-se então provar que sempre pode ser escrito como , onde é o portão Pauli X, e e são operações de qubit único, como ( veja N&C para uma prova). Daqui resulta que $U$ $U$ $U = e^{i\alpha} AXBXC$ $X$ $A, B$ $C$ $ABC=I$ onde é um porta fase aplicado ao primeiro qbit, e são aplicada para o segundo qubit. Isso é imediato quando você percebe que, se esse primeiro qubit for , em seguida,

C (U) = Φ_{1} (α) A_{2} C (X) B_{2} C (X) C_{2},

$C(U)=\Phi_1(\alpha)A_2C(X)B_2C(X) C_2,$

Φ_{1} (α) \equiv (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i α} \end{matrix}) \otimes I

$\Phi_1(\alpha)\equiv\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\alpha}\end{pmatrix}\otimes I$

A_{2}, B_{2}, C_{2}

$A_2, B_2, C_2$

A, B, C

$A, B, C$

| 0 ⟩

$|0\rangle$

C (X)

$C(X)$ torna-se uma identidade e, no segundo qubit, você tem as operações

, que dão a identidade. Por outro lado, se o primeiro qubit for

, em seguida, no segundo trilho tiver

, os quais (em conjunto com a fase) é igual a

, por definição.

A B C

$ABC$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

A X B X C

$AXBXC$

U

$U$

A decomposição acima pode ser usada para encontrar uma maneira ingênua de calcular para uma porta unitária geral de qubit de . A principal observação é de que, se para qualquer conjunto de portas , então $C(U)$ $n$ $U=A_1 A_2\cdots A_m$ $\{A_1,..,A_m\}$

C (U) = C (A_{1}) C (A_{2}) \dots C (A_{m}) .

$C(U)=C(A_1)C(A_2)\cdots C(A_m).$ Mas também sabemos que qualquer

qubit pode ser decomposto em termos de CNOTs e operações de qubit único. Segue-se que

é uma sequência de operações CCNOT e

, onde CCNOT é aqui uma porta

aplicada a alguns qubit condicionados a outros dois qubits

, e

é uma operação qubits único em alguns qbit. Porém, novamente, qualquer operação do CCNOT (também chamada de Toffoli ) pode ser decomposta, como mostra a Figura 4.9 em N&C, e o

n

$n$

U

$U$

C (U)

$C(U)$

C (V)

$C(V)$

X

$X$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

V

$V$

C (V)

$C(V)$ são decompostos como mostrado na primeira parte da resposta.

Esse método permite decompor uma porta unitária geral de qubit usando apenas e de qubit único. Você pode ir além e generalizar isso para encontrar uma decomposição para o caso de múltiplos qubits de controle. Para isso, agora você só precisa de uma maneira de decompor os portões de Toffoli, o que é encontrado novamente na Figura 4.9 da N&C. $n$ $U$ $\text{CNOT}$

— glS
fonte

Eu acho que é isso que eu estava procurando. Apenas para ter certeza: digamos que a decomposição conhecida

contenha

e portas de qubit único. Então, para portões de um qubit único, substituímos

por

, que é construído seguindo a descrição em N&C. E o

é substituído pelos portões de Toffoli (que também podem ser decompostos). Certo?

U = A_{1} A_{2} \dots A_{m}

$U=A_1 A_2 \dots A_m$

C (X)

$C(X)$

A_{i}

$A_i$

C (A_{i})

$C(A_i)$

C (X)

$C(X)$

— 319 Stern

U

$U$

C (X)

$C(X)$

C (X)_{i j}

$C(X)_{ij}$

i

$i$

j

$j$

i, j > 1

$i, j>1$

C (U)

$C(U)$

i

$i$

j

$j$

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Embora isso possa não responder completamente à sua pergunta, acho que pode fornecer alguma orientação para o pensamento. Aqui estão dois fatos importantes:

$2^{n}\times 2^{n}$ $M$ $n$
$U$ $2\times 2$ $\text{tr } U \neq 0$ $\text{tr} (UX) \neq 0$ $\text{det } U \neq 1$ $U$

$n\times n$

1 Portas elementares para computação quântica-A. Barenco (Oxford), CH Bennett (IBM), R. Cleve (Calgary), DP DiVincenzo (IBM), N. Margolus (MIT), P. Shor (AT&T), T. Sleator (NYU), J. Smolin (UCLA) ), H. Weinfurter (Innsbruck)

2 Realizações ideais de portões unitários controlados - Guang Song, Andreas Klappenecker (Texas A&M University)

— Sanchayan Dutta
fonte