Por que um computador quântico é, de certa forma, mais poderoso que uma máquina de Turing não determinística?

O relato padrão de notícias populares da computação quântica é que um computador quântico (QC) funcionaria dividindo exponencialmente muitas cópias paralelas não interativas de si mesmo em universos diferentes e tendo cada uma delas tentado verificar um certificado diferente e, no final do cálculo , a cópia única que encontrou um certificado válido "anuncia" sua solução e os outros ramos desaparecem magicamente.

As pessoas que sabem alguma coisa sobre computação quântica teórica sabem que essa história é um absurdo absoluto, e que a idéia aproximada descrita acima corresponde mais a uma máquina de Turing não determinística (NTM) do que a um computador quântico. Além disso, a classe de problemas de compacidade eficientemente solucionável por MNTs é NP e QCs é BQP , e não se acredita que essas classes sejam iguais.

As pessoas que tentam corrigir a apresentação popular apontam, com razão, que a narrativa simplista de "muitos mundos" exagera muito o poder dos CQs, que não se acredita serem capazes de resolver (digamos) problemas completos de PN . Eles se concentram na deturpação do processo de medição: na mecânica quântica, qual resultado você mede é determinado pela regra de Born e, na maioria das situações, a probabilidade de medir uma resposta incorreta inverte completamente a probabilidade de medir a correta. (E, em alguns casos, como pesquisa em caixa preta, podemos provar que nenhum circuito quântico inteligente pode vencer a regra de Born e fornecer uma aceleração exponencial.) Se pudéssemosmagicamente "decida o que medir", poderíamos resolver com eficiência todos os problemas na classe de complexidade PostBQP , que se acredita ser muito maior que o BQP .

Mas nunca vi ninguém apontar explicitamente que existe outra maneira pela qual a caracterização popular está errada, que segue na outra direção. Acredita-se que o BQP não seja um subconjunto estrito do NP , mas incomparável a ele. Existem problemas como a verificação de Fourier, que se acredita não apenas fora do NP , mas de fato fora de toda a hierarquia polinomial PH . Portanto, com relação a problemas como esses, a narrativa popular, na verdade, sob estados, em vez de exagerar o poder dos CQs.

Minha intuição ingênua é que, se pudéssemos "escolher o que medir", a narrativa popular seria mais ou menos correta, o que implicaria que esses computadores superquânticos seriam capazes de resolver com eficiência exatamente a PN da classe . Mas acreditamos que isso está errado; de fato, PostBQP = PP , que acreditamos ser um superconjunto estrito de NP .

Existe alguma intuição para o que está acontecendo nos bastidores que permita que um computador quântico seja (em alguns aspectos) mais poderoso do que uma máquina de Turing não determinística? Presumivelmente, esse poder "inerentemente quântico", quando combinado à pós-seleção (que , de certa forma, os NTMs já possuem) é o que torna um super QC muito mais poderoso que um NTM. (Observe que estou procurando alguma intuição que contrasta diretamente NTMs e QCs com pós-seleção, sem "passar" pela clássica classe de complexidade PP .)

speedup complexity-theory bqp

— tparker
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Respostas:

Do ponto de vista pseudo-fundacional, a razão pela qual o BQP é uma classe diferentemente poderosa (para cunhar uma frase) que a NP é que os computadores quânticos podem ser considerados como fazendo uso de interferências destrutivas.

Muitas classes de complexidade diferentes podem ser descritas em termos de (propriedades mais ou menos complicadas) do número de ramificações aceitantes de um NTM. Dado um NTM em 'forma normal', o que significa que o conjunto de ramificações computacionais é uma árvore binária completa (ou algo semelhante a ele) com alguma profundidade polinomial, podemos considerar classes de linguagens definidas fazendo as seguintes distinções:

O número de ramificações aceitas é zero ou diferente de zero? (Uma caracterização de NP .)
O número de ramificações aceitantes é menor que o máximo ou exatamente igual ao máximo? (Uma caracterização de coNP .)
O número de agências aceitas é no máximo um terço ou pelo menos dois terços do total? (Uma caracterização do BPP .)
O número de ramificações aceitas é menor que a metade, ou pelo menos a metade, do total? (Uma caracterização de PP .)
O número de ramos aceitantes é diferente da exatamente metade, ou igual a exatamente metade, do total? (Uma caracterização de uma classe chamada C ₌ P. )

Eles são chamados de classes de contagem , porque, na verdade, são definidos em termos da contagem de ramificações aceitas.

Interpretando as ramificações de um NTM como geradas aleatoriamente, são perguntas sobre a probabilidade de aceitação (mesmo que essas propriedades não sejam eficientemente testáveis com confiança estatística). Uma abordagem diferente para descrever as classes de complexidade é considerar, em vez disso, a diferença entre o número de ramificações aceitantes e o número de ramificações rejeitadas de um NTM. Se a contagem da acumulação de ramificações computacionais do NTM corresponder a probabilidades, pode-se sugerir que o cancelamento de ramificações aceitas contra ramificações rejeitadas modela o cancelamento de 'caminhos' computacionais (como na soma de caminhos) na computação quântica - ou seja, como modelagem de interferência destrutiva .

Os limites superiores mais conhecidos para o BQP , nomeadamente AWPP e PP , são facilmente definíveis em termos de 'lacunas de aceitação' dessa maneira. A classe NP , no entanto, não possui uma caracterização tão óbvia. Além disso, muitas das classes que obtemos das definições em termos de lacunas de aceitação parecem ser mais poderosas que o NP . Pode-se considerar isso para indicar que 'interferência destrutiva não-determinística' é um recurso computacional potencialmente mais poderoso do que mero não-determinismo; de modo que, mesmo que os computadores quânticos não tirem vantagem total desse recurso computacional, ele pode resistir à contenção fácil em classes como NP .

— Niel de Beaudrap
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São P e PSPACE aulas de contagem? Ingenuamente, parece que sim para P , pois pode ser definido como o conjunto de problemas que todo caminho aceita, mas não tenho certeza sobre o PSPACE .

— tparker

PSPACE não é uma classe de contagem, não. Você está no caminho certo com P --- deve exigir que todo caminho aceite ou todo pah rejeite (ou um requisito igualmente forte), ou então você pode acabar com coNP , coRP ou alguma outra classe desconhecida igual P .

— Niel de Beaudrap 30/03/19

Presumivelmente, o PH também não é uma classe de contagem, uma vez que é naturalmente formulado em termos de uma máquina de Turing alternada e não não-determinística?

— tparker

B P P \subset P P \subset N P

$\mathbf{BPP} \subset \mathbf{PP} \subset \mathbf{NP}$

B P P \subset N P \subset P P

$\mathbf{BPP} \subset \mathbf{NP} \subset \mathbf{PP}$

B P P \subseteq N P

$\mathsf {BPP \subseteq NP}$

B P P \subseteq N P^{N P} \cap c o N P^{N P}

$\mathsf {BPP \subseteq NP^{NP} \cap coNP^{NP}}$

-1

Esta resposta foi 'migrada' de quando esta pergunta foi feita em Ciência da Computação (o autor permanece o mesmo)

Bem, uma das principais razões é que não existem algoritmos quânticos que resolvam problemas difíceis de NP em tempo polinomial.

Outra é que o recozimento quântico adiabético (como no Dwave) mal consegue superar o recozimento quântico clássico.

$\neq$ $=$ $\neq$ $\neq$ $=$ $=$

$=$

$\neq$

Existem problemas como a verificação de Fourier, que se acredita não apenas fora do NP, mas de fato fora de toda a hierarquia polinomial. Portanto, com relação a problemas como esses, a narrativa popular realmente subestima, em vez de exagerar, o poder dos CQs.

$O(n)$ $O(n)$

— Lagarto discreto
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