Qual é a diferença entre superposições e estados mistos?

Meu entendimento até agora é: um estado puro é um estado básico de um sistema, e um estado misto representa incerteza sobre o sistema, ou seja, o sistema está em um de um conjunto de estados com alguma probabilidade (clássica). No entanto, as superposições parecem ser uma espécie de mistura de estados também; então, como elas se encaixam nessa imagem?

Por exemplo, considere um lançamento de moeda justo. Você pode representá-lo como um estado misto de "heads" e "tails" :| 1 ⟩ p 1 = Σ j $\left|0\right>$$\left|1\right>$

$$\rho_1 = \sum_j \frac{1}{2} \left|\psi_j\right> \left<\psi_j\right| = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

No entanto, também podemos usar a superposição de "cara" e "coroa": estado específico com densidade$\psi = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \left|0\right> + \left|1\right> \right)$

$$\rho_2 = \left|\psi\right> \left<\psi\right| = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Se medirmos na base computacional, obteremos o mesmo resultado. Qual é a diferença entre um estado sobreposto e um estado misto?

Não , uma superposição de dois estados diferentes é um animal completamente diferente do que uma mistura dos mesmos estados. Embora possa parecer a partir do seu exemplo queeproduzam os mesmos resultados de medição (e esse é realmente o caso), assim que você mede em uma base diferente, eles fornecerão resultados mensuráveis ​​diferentes .ρ $\rho_1$$\rho_2$

Uma "superposição" como é um estado puro . Isso significa que é um estado completamente caracterizado. Em outras palavras, não há quantidade de informação que, adicionada à sua descrição, possa torná-la "menos indeterminada". Observe que todo estado puro pode ser escrito como superposição de outros estados puros. Escrever um determinado estado como uma superposição de outros estados é literalmente a mesma coisa que escrever um vetor em termos de alguma base: você sempre pode alterar a base e encontrar uma representação diferente de .| ip ⟩ v $\newcommand{\up}{|\!\!\uparrow\rangle}\newcommand{\down}{|\!\!\downarrow\rangle}|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}(\up+\down)$$|\psi\rangle$$\boldsymbol v$$\boldsymbol v$

Isso contrasta diretamente com um estado misto como na sua pergunta. No caso de , a natureza probabilística dos resultados depende de nossa ignorância sobre o próprio estado . Isso significa que, em princípio, é possível adquirir algumas informações adicionais que nos dirão se está realmente no estado ou no estado .ρ 1 ρ 2 $\rho_1$$\rho_1$$\rho_2$$\up$$\down$

Um estado misto não pode, em geral, ser escrito como um estado puro. Isso deve ficar claro a partir da intuição física acima: estados mistos representam nossa ignorância sobre um estado físico, enquanto estados puros são estados completamente definidos, que por acaso ainda fornecem resultados probabilísticos devido à maneira como a mecânica quântica funciona.

De fato, existe um critério simples para determinar se um determinado estado (geralmente misto) pode ser escrito comopara algum estado (puro) : calculando sua pureza . A pureza de um estado é definida como e é um resultado padrão que a pureza do estado seja se e somente se o estado for puro (e menor que de outra forma).| ip ⟩ ⟨ ip | | ip ⟩ p $\rho$$|\psi\rangle\langle\psi|$$|\psi\rangle$$\rho$1 $\operatorname{Tr} \,(\rho^2)$$1$ $1$

A resposta curta é que há mais informações quânticas do que "incerteza". Isso ocorre porque há mais de uma maneira de medir um estado; e isso ocorre porque há mais de uma base na qual, em princípio, você pode armazenar e recuperar informações. As superposições permitem que você expresse informações em uma base diferente da base computacional - mas as misturas descrevem a presença de um elemento probabilístico, independentemente da base usada para observar o estado.

A resposta mais longa é a seguinte -

A medida como você descreveu é especificamente a medida na base computacional. Isso geralmente é descrito como "medida" por uma questão de brevidade, e grandes subconjuntos da comunidade pensam em termos de que essa é a principal maneira de medir as coisas. Mas em muitos sistemas físicos, é possível escolher uma base de medição .

Um espaço vetorial sobre tem mais de uma base (até mais de uma base ortonormal) e, em nível matemático, não há muito que torne uma base mais especial que a outra, além do que é conveniente para o matemático pensar sobre. O mesmo se aplica à mecânica quântica: a menos que você especifique alguma dinâmica específica, não há base mais especial que as outras. Isso significa que a base computacional é não seja fundamentalmente diferente fisicamente de outra base, como | 0 ⟩ = [ 1 0 ]$\mathbb C$ | + ⟩ =

$$\lvert 0 \rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \lvert 1 \rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$ | ip⟩∈C2| +⟩| - $$\lvert + \rangle = \tfrac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \lvert - \rangle = \tfrac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix},$$ o que também é uma base ortonormal. Isso significa que deve haver uma maneira de "medir" um estado de tal maneira que as probabilidades dos resultados dependam de projeções para esses estados e .$\lvert \psi \rangle \in \mathbb C^2$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$

Em alguns sistemas físicos, a maneira de realizar essa medição é literalmente pegar o mesmo aparelho e inclinar-o para que fique alinhado com o eixo X em vez do eixo Z. Matematicamente, a maneira como fazemos isso é considerar os projetores e depois perguntar quais são as projeções e . A norma-quadrado de determina a probabilidade de "medir

$$\Pi_+ = \lvert + \rangle\!\langle + \rvert = \tfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad \Pi_- = \lvert - \rangle\!\langle - \rvert = \tfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$$ $\lvert \varphi_+ \rangle := \Pi_+ \lvert \psi \rangle$$\lvert \varphi_- \rangle := \Pi_- \lvert \psi \rangle$$\lvert \varphi_\pm \rangle$$\lvert + \rangle$"and of" "; e normalizar ou para ter uma norma de 1 produz o estado pós-medição. , será apenas ou pós-medição mais interessantes podem resultar se considerarmos estados com vários qubit e considerarmos o projetor ou agindo em um dos muitos qubits .)$\lvert - \rangle$$\lvert \varphi_+ \rangle$$\lvert \varphi_- \rangle$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$$\Pi_+$$\Pi_-$

Para os operadores de densidade, toma-se o estado qual deseja realizar uma medição, e considerar e . Esses operadores podem ser da mesma maneira que os estados , no sentido de que eles podem ter um rastreio menor que 1. O valor do rastreio de é a probabilidade de obter o resultado ou da medição; para renormalizar, basta dimensionar o operador projetado para ter o rastreio 1.$\rho$$\rho_+ := \Pi_+ \rho \Pi_+$$\rho_- := \Pi_- \rho \Pi_-$$\lvert \varphi_\pm \rangle$$\rho_\pm$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$

Considere o seu estado acima. Se você medi-lo em relação à base , o que você encontrará é que . Isso significa que projetar o operador com altera o estado e que a probabilidade de obter o resultado para a medição é 1. Se você fizer isso com , encontrará 50/50 chance de obter ou . Portanto, o estado é um estado misto, enquanto não é --- a diferença é que | ± ⟩ ρ 2 = ρ 2 , + : = Π + ρ 2 Π + Π + | + ⟩ P 1 | + ⟩ | - ⟩ ρ 1 ρ 2 ρ 2 ρ $\rho_2$$\lvert \pm \rangle$$\rho_2 = \rho_{2,+} := \Pi_+ \rho_2 \Pi_+$$\Pi_+$$\lvert + \rangle$$\rho_1$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$$\rho_1$$\rho_2$$\rho_2$tem um resultado definido em uma base de medição diferente da base padrão. Você pode dizer que armazena uma informação definida , embora em uma base diferente da base computacional.$\rho_2$

De maneira mais geral, um estado misto é aquele cujo maior valor próprio é menor que 1, significando que não há base na qual você possa medi-lo para obter um resultado definido. As superposições permitem expressar informações em uma base diferente da base computacional; as misturas representam um grau de aleatoriedade sobre o estado do sistema que você está considerando, independentemente de como você mede esse sistema.

Junto com a publicação do glS:

Um estado misto seria se você tivesse uma lata de tinta, mas não tinha certeza se era azul ou amarela. Você sabe que é um dos dois, e uma vez que você abre o topo e o mede, você saberia, mas até fazer isso, está em um desses dois estados puros. Se você o pegasse em uma pilha de latas onde sabia que havia igualmente muitas latas de tinta azul como amarelo, seria de esperar uma chance igual de ser uma ou outra. 50% das vezes seria 100% amarelo e 50% das vezes seria 100% azul.

Uma superposição é mais parecida se você pegar meia lata de azul e meia lata de amarelo e derramá-las juntas. Agora você construiu um novo estado puro que é expressável como uma combinação de outros estados puros. Se você testar seu 'azul', é de cerca de 50%. Se você testar o seu 'amarelo', é de cerca de 50%. É amarelo e azul ao mesmo tempo. 100% do tempo é 50% azul e 50% amarelo.

Se você mediu a quantidade de azul e amarelo em uma pilha de latas azuis ou amarelas e depois em outra pilha de verde, pode ficar confuso ao ver que tem tanto azul e amarelo nas duas pilhas, mas a diferença é que o valor " azul e amarelo estão em um estado misto na pilha posterior, mas em uma superposição na última.