Em uma máquina de Quantum Turing, como é tomada a decisão de mover a fita de memória?

Seja, para uma máquina Quantum Turing (QTM), o conjunto de estados seja e o alfabeto dos símbolos seja , que aparecem na cabeça da fita. Então, como eu entendo, a qualquer momento, enquanto o QTM está calculando, o qubit que aparece em sua cabeça manterá um vetor arbitrário . Além disso, se , então o vetor de estado nessa instância também será um vetor arbitrário .$Q$$\sum=\{0,1\}$$V_\sum = a|1\rangle+b|0\rangle$$|q_0\rangle , |q_1\rangle, ... \in Q$$V_q=b_0|q_0\rangle + b_1 |q_1\rangle+ ...$

Agora, após a conclusão do ciclo de instruções, os vetores e decidirão se o QTM se moverá para a esquerda ou direita ao longo da fita Qubit. Minha pergunta é: como o espaço Hilbert formado por é um conjunto infinito incontável e é um conjunto discreto, será difícil criar o mapeamento entre eles.$V_\sum$$V_q$$Q \otimes \sum$$\{\text{Left,Right}\}$

Então, como é tomada a decisão de mover para a esquerda ou direita? O QTM se move para a esquerda e para a direita ao mesmo tempo, o que significa que o conjunto também forma um espaço Hilbert diferente e, portanto, o movimento do QTM se torna algo como .$\{\text{Left,Right}\}$$a|\text{Left}\rangle+b|\text{Right}\rangle$

Ou, assim como uma máquina de Turing clássica, o QTM se move para a esquerda ou direita, mas não as duas ao mesmo tempo?

Se tivermos um QTM com o conjunto de estados e um alfabeto de fita Σ = { 0 , 1 } , não podemos dizer que o qubit que está sendo varrido pela cabeça da fita "mantém" um vetor a | 0 ⟩ + b | 1 ⟩ ou que o estado (interno) é um vector com estados básicos correspondentes a Q . Os qubits na fita podem ser correlacionados entre si e com o estado interno, bem como com a posição da cabeça da fita.$Q$$\Sigma = \{0,1\}$$a|0\rangle + b|1\rangle$$Q$

Como analogia, não descreveríamos o estado global de uma máquina de Turing probabilística, especificando independentemente uma distribuição para o estado interno e para cada quadrado da fita. Em vez disso, temos que descrever tudo juntos para representar adequadamente as correlações entre as diferentes partes da máquina. Por exemplo, os bits armazenados em dois quadrados distantes da fita podem estar perfeitamente correlacionados, ambos 0 com probabilidade 1/2 e ambos 1 com probabilidade 1/2.

Portanto, no caso quântico, e assumindo que estamos falando de estados puros de máquinas de Turing quânticas com evoluções unitárias (em oposição a um modelo mais geral baseado em estados mistos), o estado global é representado por um vetor cujas entradas são indexadas por configurações (ou seja, descrições clássicas do estado interno, da localização da cabeça da fita e do conteúdo de cada quadrado da fita) da máquina de Turing. Deve-se observar que geralmente assumimos que existe um símbolo em branco especial no alfabeto da fita (que pode ser 0 se queremos que nossos quadrados de fita armazenem qubits) e que começamos os cálculos com, no máximo, muitos quadrados finitos, não em branco, para que o conjunto de todas as configurações alcançáveis ​​seja contável. Isso significa que o estado será representado por um vetor de unidade em um espaço Hilbert separável.

Finalmente, e talvez essa seja a resposta real à pergunta interpretada literalmente, o movimento da cabeça da fita é determinado pela função de transição, que atribuirá uma "amplitude" a cada ação possível (novo estado, novo símbolo e movimento da cabeça da fita ) para cada par clássico representa o estado atual e o símbolo atualmente digitalizado. Nada força o cabeçote de fita a se mover de forma determinística - uma amplitude diferente de zero pode ser atribuída a duas ou mais ações que incluem movimentos do cabeçote de fita à esquerda e à direita - para que seja possível que um cabeçote de fita QTM se mova para a esquerda e direita sobreposição.$(q,\sigma)$

$Q = \{0,1\}$$\Sigma = \{0,1\}$(e usaremos 0 para ser o símbolo em branco). Começamos no estado 0 digitalizando um quadrado que armazena 1 e todos os outros quadrados armazenam 0. Não anotarei explicitamente a função de transição, mas apenas descreverei o comportamento em palavras. Em cada movimento, o conteúdo do quadrado da fita digitalizada é interpretado como um bit de controle para uma operação Hadamard no estado interno. Depois que o Hadamard controlado é executado, o cabeçote se move para a esquerda se o estado (novo) for 0 e se move para a direita se o estado (novo) for 1. (Neste exemplo, nunca realmente alteramos o conteúdo da fita.) Após uma etapa , o QTM estará em uma superposição igualmente ponderada entre estar no estado 0 com a cabeça de fita digitalizando o quadrado -1 e estar no estado 1 com a cabeça de fita digitalizando o quadrado +1. Em todos os movimentos subsequentes, o Hadamard controlado não faz nada porque todos os quadrados, exceto o quadrado 0, contêm o símbolo 0. A cabeça da fita continuará, portanto, movendo-se simultaneamente à esquerda e à direita, como uma partícula viajando para a esquerda e para a direita em superposição.

Se você quisesse, é claro que você poderia definir uma variante do modelo de máquina de Turing quântica para a qual a localização e o movimento da cabeça da fita são determinísticos, e isso não arruinaria a universalidade computacional do modelo, mas a definição "clássica" de Turing quântico. máquinas não impõe essa restrição.

A máquina quântica de Turing pode se mover para uma superposição de movimento para a esquerda e para a direita. Isso é diferente da clássica máquina de Turing, que só pode se mover para a esquerda ou direita.