Por que usamos o conjunto de portas padrão que fazemos?

O conjunto de portas tipicamente usado para computação quântica é composto pelos qubits únicos Cliffords (Paulis, H e S) e o NOT-controlado e / ou Z-controlado.

Para ir além de Clifford, gostamos de ter rotações de qubit único completas. Mas se estamos sendo mínimos, apenas escolhemos T (a quarta raiz de Z).

Essa forma específica do conjunto de portas exibe tudo. Como o Quantum Experiment da IBM p, por exemplo.

Por que esses portões, exatamente? Por exemplo, H faz o trabalho de mapear entre X e Z. S faz o trabalho de mapear entre Y e X, mas um fator de também é introduzido. Por que não usamos um unitário do tipo Hadamard vez de S? Ou por que não usamos a raiz quadrada de Y em vez de H? Seria equivalente matematicamente, é claro, mas pareceria um pouco mais consistente como convenção.$-1$$(X+Y)/\sqrt{2}$

E por que nosso portão não-Clifford é a quarta raiz de Z? Por que não a quarta raiz de X ou Y?

Quais convenções históricas levaram a essa escolha específica de conjunto de portas?

Quem escreveu um artigo e se perguntou se poderia melhorar a notação ou apresentar a análise de maneira um pouco diferente para torná-la mais elegante, está familiarizado com o fato de que escolhas de notação, descrição e análise podem ser um acidente - escolhido sem motivações profundas. Não há nada de errado com isso, simplesmente não tem uma justificativa forte para ser uma maneira específica. Em grandes comunidades de pessoas mais preocupadas (possivelmente com a razão) em fazer as coisas, em vez de apresentar a imagem mais limpa possível, isso acontece o tempo todo.

Penso que a resposta final para esta pergunta será nesse sentido: é principalmente um acidente histórico. Duvido que haja razões profundamente consideradas para que os conjuntos de portas sejam como são, assim como não há razões profundamente consideradas para falarmos sobre o estado de Bell um pouco mais frequentemente do que o estado| Ψ-⟩=(|01⟩-|10⟩) /$\lvert \Phi^+ \rangle = ( \lvert 00 \rangle + \lvert 11 \rangle ) \big/ \sqrt 2$ .$\lvert \Psi^- \rangle = ( \lvert 01 \rangle - \lvert 10 \rangle ) \big/ \sqrt 2$

Mas ainda podemos considerar como ocorreu o acidente e se há algo que podemos aprender sobre maneiras sistemáticas de pensar que possam ter nos levado até lá. Espero que as razões, em última análise, venham das prioridades culturais dos cientistas da computação, com vieses profundos e superficiais desempenhando um papel na maneira como descrevemos as coisas.

Uma digressão nos estados de Bell

Se você concorda comigo, gostaria de me debruçar sobre o exemplo dos dois estados de Bell e | Ψ - ⟩ como um exemplo indicativo de como uma convenção, em última análise arbitrária pode acontecer por acidente, em parte por causa de preconceitos que não têm raízes profundas matemáticas.$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$

Uma razão óbvia para preferir sobre | Ψ - ⟩ é que o primeiro é mais obviamente simétrica. À medida que adicionamos os dois componentes para | Φ + ⟩ , não há uma necessidade clara de defender por que escrevemos como fazemos. Por outro lado, poderíamos definir com a mesma facilidade | Ψ - ⟩ = ( | 10 ⟩ - | 01 ⟩ ) /$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Phi^+ \rangle$ com o sinal oposto, que não é melhor nem pior do que a escolha| Ψ-⟩=(|01⟩-|10⟩) /$\lvert \Psi^- \rangle = (\lvert 10 \rangle - \lvert 01 \rangle) \big/ \sqrt 2$ . Isso faz parecer que estamos fazendo escolhas mais arbitrárias ao definir| Ψ-⟩.$\lvert \Psi^- \rangle = (\lvert 01 \rangle - \lvert 10 \rangle) \big/ \sqrt 2$$\lvert \Psi^- \rangle$

Até a escolha da base é um pouco flexível no caso de : podemos escrever | Φ + ⟩ : = ( | + + ⟩ + | - - ⟩ ) /$\lvert \Phi^+ \rangle$ e obtenha o mesmo estado. Mas as coisas começam a ficar um pouco piores se você começar a considerar os eigenstates| ±i⟩:=(|0⟩±i|1⟩) /$\lvert \Phi^+ \rangle := (\lvert ++ \rangle + \lvert -- \rangle)\big/\sqrt 2$ dooperadorY: temos| Φ+⟩=(|+i⟩|-i⟩+|-i⟩|+i⟩) /$\lvert \pm i \rangle := (\lvert 0 \rangle \pm i \lvert 1 \rangle)\big/\sqrt 2$$Y$ . Isso ainda parece bastante simétrico, mas fica claro que nossa escolha de base desempenha um papel não trivial na forma como definimos| Φ+⟩.$\lvert \Phi^+ \rangle = (\lvert +i \rangle\lvert -i \rangle + \lvert -i \rangle \lvert +i \rangle)\big/\sqrt 2$$\lvert \Phi^+ \rangle$

A piada está em nós. A razão pela qual parece "mais simétrica" do que | Ψ - ⟩ é porque | Ψ - ⟩ é, literalmente, o estado de dois qubits menos simétrica, e isso torna mais motivado do que | Φ + ⟩ em vez de menos motivados. O | Ψ - ⟩ estado é o único antisymmetric estado: o estado único, que é o - $\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Phi^+\rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$-1$ autovetor da operação SWAP e, portanto, implicado no teste SWAP controlado para distinguibilidade do estado de qubit, entre outras coisas.

• Nós podemos descrever -se a uma fase global como ( | alfa ⟩ | alfa ⊥ ⟩ - | alfa ⊥ ⟩ | alfa ⟩ ) /$\lvert \Psi^- \rangle$ para literalmente qualquer estado de qubit único| alfa⟩e estado ortogonal| alfa⊥⟩, o que significa que as propriedades que o tornam interessante são independentes da escolha da base.$(\lvert \alpha \rangle \lvert \alpha^\perp \rangle - \lvert \alpha^\perp \rangle \lvert \alpha \rangle)\big/\sqrt 2$$\lvert \alpha \rangle$$\lvert \alpha^\perp \rangle$
• Até a fase global que você usa para escrever o estado não afeta a definição de | Ψ - ⟩ até mais de uma fase global. O mesmo não se aplica a | Φ + ⟩ : como um exercício para o leitor, se | 1 ' ⟩ = i | 1 ⟩ , então o que é ( | 00 ⟩ + | 1 ' 1 ' ⟩ ) /$\lvert \alpha^\perp \rangle$$\lvert \Psi^-\rangle$$\vert \Phi^+\rangle$$\lvert 1' \rangle = i \lvert 1 \rangle$ ?$(\lvert 00 \rangle + \lvert 1' 1' \rangle)\big/\sqrt 2$

Enquanto isso, é apenas um estado maximamente entrelaçado no subespaço simétrico tridimensional em dois qubits - o subespaço de + 1 autovetores da operação SWAP - e, portanto, não mais distinto em princípio do que, digamos, | Φ - ⟩ alfa | 00 ⟩ - | 11 ⟩ .$\lvert \Phi^+ \rangle$$+1$$\lvert \Phi^- \rangle \propto \lvert 00 \rangle - \lvert 11 \rangle$

Depois de aprender uma coisa ou duas sobre os estados de Bell, fica claro que nosso interesse em em particular é motivado apenas por uma simetria superficial da notação, e não por quaisquer propriedades matemáticas verdadeiramente significativas. É certamente uma escolha mais arbitrária do que | Ψ - ⟩ . A única motivação óbvia para preferir | Φ + ⟩ são razões sociológicas relacionadas a evitar sinais negativos e unidades imaginárias. E a única razão justificável em que posso pensar para isso é cultural: especificamente, para acomodar melhor estudantes ou cientistas da computação.$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Phi^+ \rangle$

Quem pediu o CNOT?

Você pergunta por que não falamos mais sobre . Para mim, a pergunta mais interessante que você também faz: nós falamos muito sobreH=(X+Z) /$(X + Y)\big/\sqrt 2$ , quando$H = (X + Z)\big/\sqrt 2$ faz muitas das mesmas coisas? Eu já vi palestras proferidas por físicos ópticos experimentais a estudantes, que até descrevem o desempenho$\sqrt Y$ em uma base padrão,comoexecutando um portão Hadamard: mas era um$\sqrt Y$ portão que era realmente mais natural para ele. O operador$\sqrt Y$ também está mais diretamente relacionado aos operadores Pauli, obviamente. Um físico sério pode achar curioso que em vez disso insistamos tanto em Hadamard.$\sqrt Y$

Mas há um elefante maior na sala - quando falamos em CNOT, por que estamos falando em CNOT, em vez de outro portão entrelaçado que é simétrica em seus fatores tensores, ou melhor ainda U = exp ( - i π ( Z ⊗ Z ) / 2 $\mathrm{CZ} = \mathrm{diag}(+1,+1,+1,-1)$$U = \exp(-i \pi (Z \otimes Z)/2)$qual está mais estreitamente relacionado à dinâmica natural de muitos sistemas físicos? Sem mencionar uma unidade como ou outras variantes desse tipo.$U' = \exp(-i \pi (X \otimes X)/2)$

A razão, é claro, é que estamos explicitamente interessados ​​em computação, e não em física propriamente dita. Preocupamo-nos com a CNOT, porque ela transforma a base padrão (uma base que é preferível não por razões matemáticas ou físicas, mas por razões centradas no homem ). O portão acima é um pouco misterioso do ponto de um cientista da computação: não é óbvio na superfície do que o que é para , e pior, ela é cheia de coeficientes complexos nojento. E o portão U ' é ainda pior. Por outro lado, o CNOT é um operador de permutação, cheio de 1s e 0s, permutando a base padrão de uma maneira que é obviamente relevante para o cientista da computação.$U$$U'$

Embora eu esteja me divertindo um pouco aqui, no final, é para isso que estamos estudando a computação quântica . O físico pode ter uma visão mais profunda da ecologia das operações elementares, mas o que o cientista da computação se preocupa no final do dia é como as coisas primitivas podem ser compostas em procedimentos compreensíveis que envolvem dados clássicos. E isso significa não se importar muito com a simetria nos níveis lógicos inferiores, desde que eles consigam o que desejam desses níveis inferiores.

Falamos sobre o CNOT, porque é o portão em que queremos passar um tempo pensando. De uma perspectiva física, portões como e U ', como acima, são, em muitos casos, as operações em que pensaríamos para realizar o CNOT, mas o CNOT é o que nos interessa.$U$$U'$

Razões profundas, e não tão profundas, para preferir o portão Hadamard

Espero que as prioridades dos cientistas da computação motivem muitas de nossas convenções, como por que falamos sobre , em vez de$(X + Z)\big/\sqrt 2$ .$\sqrt Y \propto (\mathbb 1 - i Y)\big/\sqrt 2$

A operação Hadamard já é um pouco assustadora para os cientistas da computação que ainda não estão familiarizados com a teoria da informação quântica. (A maneira como é usada soa como não-determinismo, e até usa números irracionais!) Mas uma vez que um cientista da computação supera a repulsa inicial, o portão Hadamard tem propriedades que eles podem gostar: pelo menos, envolve apenas coeficientes reais, é auto-inversa, e você pode até descrever a base própria de com apenas coeficientes reais.$H$

Uma maneira pela qual o Hadamard geralmente surge é na descrição da alternância entre a base padrão e 'a' base conjugado | + ⟩ , | - ⟩ (isto é, o eigenbasis do X operador, ao contrário do Y operador) - o chamado 'bit' e as bases 'fase', que são duas bases conjugadas que você pode expressar usando apenas coeficientes reais . Claro, $\lvert 0 \rangle, \lvert 1 \rangle$$\lvert + \rangle, \lvert - \rangle$$X$$Y$ também se transforma entre essas bases, mas também introduz uma transformação não trivial se você a executar duas vezes. Se você deseja "alternar entre duas bases diferentes nas quais você pode armazenar informações", o portão Hadamard é melhor. Mas - isso só pode ser defensável se você achar importante especificamente ter$\sqrt Y$

• um portão transformando entre a base padrão e a base muito específica de | + ⟩ , | - ⟩ ;$H$$\lvert + \rangle, \lvert - \rangle$
• se você se preocupa especificamente com a ordem de 2 .$H$$2$

Você pode protestar e dizer que é muito natural considerar alternar entre as bases 'bit' e 'phase'. Mas de onde tiramos essa noção de duas bases específicas para 'bit' e 'phase'? A única razão pela qual destacamos como 'a' base de fase, ao contrário, por exemplo, para | + I ⟩ , | - i ⟩ , é porque ele pode ser expresso apenas com coeficientes reais em base padrão. Quanto à preferência de um operador com o pedido $\lvert + \rangle, \lvert - \rangle$$\lvert +i \rangle, \lvert -i \rangle$$2$, para combinar com a noção de alternância, isso parece indicar uma preferência particular por considerar as coisas por 'inversões', em vez de mudanças reversíveis de base. Essas prioridades cheiram aos interesses da ciência da computação.

Ao contrário do caso entre contra | Ψ - ⟩ , o cientista da computação tem um realmente bom de alto nível argumento para preferir H sobre $\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$H$ : o portão Hadamard é a representação unitária da transformação booleana de Fourier (ou seja, é a transformação quântica de Fourier em qubits). Isso não é muito importante do ponto de vista físico, mas é muito útil do ponto de vista computacional, e uma fração muito grande de resultados teóricos na computação e comunicação quânticas acaba por se basear nessa observação. Mas a transformada booleana de Fourier já incorpora as assimetrias da ciência da computação, pressupondo a importância da base padrão e usando apenas coeficientes reais: um operador como(X+Y) /$\sqrt Y$ nunca seria considerado por esses motivos.$(X + Y)\big/\sqrt 2$

Argumento diagonal

Se você é um cientista da computação, depois de ter o Hadamard e o CNOT, tudo o que resta é obter essas fases complexas traquinas classificadas como uma reflexão tardia. Essas fases são extremamente importantes, é claro. Mas o modo como falamos sobre fases relativas revela um desconforto com a ideia. Mesmo descrevendo a base padrão como a base 'bit', para armazenar informações, coloca uma forte ênfase em que, seja qual for a 'fase', não é a maneira usual de você considerar armazenar informações. Fases de todos os tipos são algo a ser tratado após o negócio "real" de lidar com magnitudes de amplitudes; depois de confrontar o fato de que é possível armazenar informações em mais de uma base. Mal falamos sobre fases relativas, mesmo puramente imaginárias, se podemos ajudá-lo.

$T \propto \sqrt[4]Z$$X$$Y$$\sqrt[4]X$$\sqrt[4]Y$

E nem um momento antes - porque os cientistas da computação não se importam exatamente com o que são as operações primitivas que estão sendo usadas, assim que elas justificam a mudança para algo mais alto.

Sumário

Não acho que exista uma razão motivada fisicamente muito interessante pela qual usamos um determinado conjunto de portas. Mas é certamente possível explorar as razões motivadas psicologicamente por isso. O exposto acima é uma especulação nessa direção, informada por uma longa experiência.