Objetivo do uso da fidelidade no benchmarking aleatório

Frequentemente, ao comparar duas matrizes de densidade, e (como quando é uma implementação experimental de um ideal ), a proximidade desses dois estados é dada pela fidelidade do estado quântico com a infidelidade definida como .$\rho$$\sigma$$\rho$$\sigma$

$$F = tr\left(\sqrt{\sqrt{\rho}\sigma\sqrt{\rho}}\right),$$ $1-F$

Da mesma forma, ao comparar a proximidade de uma implementação de um gate com uma versão ideal, a fidelidade se torna que d \ psi é a medida de Haar sobre estados puros. Sem surpresa, isso pode ser relativamente desagradável de se trabalhar.

$$F\left( U, \tilde U\right) = \int\left[tr\left(\sqrt{\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}\tilde U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|\tilde U^\dagger\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}}\right)\right]^2\,d\psi,$$ $d\psi$

Agora, vamos definir uma matriz $M = \rho - \sigma$ no caso de matrizes de densidade, ou $M = U - \tilde U$ ao trabalhar com portões. Em seguida, as normas de Schatten ¹ , como $\| M\|_1 = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}\right)$ , $\| M\|_2^2 = tr\left(M^\dagger M\right)$ ou outras normas, como a norma de diamante, podem ser calculadas.

Essas normas costumam ser mais fáceis de calcular ^{2 do} que a Fidelidade acima. O que piora as coisas é que, nos cálculos aleatórios de benchmarking , a infidelidade nem parece ser uma grande medida , mas é o número que é usado toda vez que eu vi ao analisar os valores de benchmarking para processadores quânticos. ³

Então, por que a (in) fidelidade é o valor de entrada para o cálculo de erros de porta em processadores quânticos (usando benchmarking aleatório), quando ele não parece ter um significado útil e outros métodos, como as normas de Schatten, são mais fáceis de calcular em um computador clássico?

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^{1 A norma p de Schatten de $M$ é $\| M\|_p^p = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}^p\right)$}

^{2 ou seja, conecte um modelo de ruído em um computador (clássico) e simule}

^{3 Como o QMX5 da IBM}

Nielsen e Chuang em seu livro "Computação Quântica e Informação Quântica" têm uma seção (Capítulo 9) sobre medidas de distância para informação quântica.

Surpreendentemente, eles dizem na Seção 9.3 "Como um canal quântico preserva as informações?" que, ao comparar a fidelidade à norma de rastreamento:

Usando as propriedades da distância de rastreamento estabelecida na última seção, não é difícil, na maioria das vezes, fornecer um desenvolvimento paralelo com base na distância de rastreamento. No entanto, verifica-se que a fidelidade é uma ferramenta mais fácil de calcular e, por esse motivo, nos restringimos a considerações baseadas na fidelidade.

Imagino que seja em parte por que a fidelidade é usada. Parece que é bastante útil como uma medida estática da distância.

Também parece haver extensões relativamente diretas de fidelidade a conjuntos de estados

$$F =\sum_j p_jF(\rho_j,\mathcal{E}(\rho_j))^2,$$

ρ j E 0 ≤ F ≤ $p_j$ a probabilidade de preparar o sistema nos estados e o canal de interesse barulhento específico, .$\rho_j$$\mathcal{E}$$0\leq F\leq 1$

Há também uma extensão para a fidelidade do emaranhado, para medir quão bem um canal preserva o emaranhado. Dado um estado que supõe estar emaranhado ao mundo externo de alguma maneira, e uma purificação do estado (sistema fictício ), de modo que seja puro. O estado está sujeito à dinâmica no canal . Os números primos indicam o estado após a aplicação da operação quântica. é o mapa de identidade do sistema .R R Q E I R$Q$$R$$RQ$$\mathcal{E}$$\mathcal{I}_R$$R$

$$F(\rho,\mathcal{E}) ≡ F(RQ,R′Q′)^2= ⟨RQ| \left(\mathcal{I}_R \otimes \mathcal{E}\right)\left(|RQ⟩⟨RQ|\right) |RQ⟩$$

Existem algumas fórmulas derivadas para simplificar os cálculos de fidelidade e fidelidade de emaranhamento também apresentados neste capítulo.

Uma das propriedades atraentes da fidelidade de emaranhamento é que existe uma fórmula muito simples que permite que seja calculada exatamente.

$$F(\rho,\mathcal{E})=\sum_i\operatorname{tr}|(\rho E_i)|^2$$

onde os 'elementos de operação' satisfazem uma relação de completude. Talvez alguém possa comentar sobre implementações mais práticas, mas é isso que eu deduzi da leitura.$E_i$

Atualização 1: Re M.Stern

É a mesma referência Nielsen e Chuang. Eles comentam isso dizendo: "Você pode se perguntar por que a fidelidade que aparece no lado direito da definição é quadrada. Existem duas respostas para essa pergunta, uma simples e outra complexa. A resposta simples é que a inclusão desse termo quadrado faz com que a fidelidade do conjunto está mais naturalmente relacionada à fidelidade do emaranhado, conforme definido a seguir.A resposta mais complexa é que a informação quântica está, atualmente, em um estado de infância e não está totalmente claro quais são as definições "corretas" para noções como informação No entanto, como veremos no Capítulo 12, a fidelidade média do conjunto e a fidelidade do emaranhamento dão origem a uma rica teoria da informação quântica, que nos leva a acreditar que essas medidas estão no caminho certo,

Para responder à sua segunda pergunta sobre por que não olhar para a fidelidade de , há um bom ponto mencionado em "Medidas de diferenciação entre conjuntos de estados quânticos", que eu acho que está no PhysRevA, mas há uma versão arXiv aqui .$\bar{\rho}$

O ponto mencionado na página 4 é supor que você tenha dois conjuntos e que possuam a mesma matriz de densidade média do conjunto, , em seguida, a fidelidade não pode distinguir entre eles.$rho$$\sigma$$\bar{\rho}=\bar{\sigma}$$F(\bar{\rho},\bar{\sigma})$

Atualização 2: Re Mithrandir24601 Portanto, uma definição de fidelidade de porta é motivada ao pensar qual é o pior comportamento de um canal , para um determinado estado de entrada.$\mathcal{E}$

$$F_{min}=\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle\langle\psi|,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))\equiv\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$$

Devido à concavidade nos dois argumentos, você pode restringir a estados puros nessa minimização, a equivalência na segunda parte é apenas notação.

Ao definir o quão bem um portão é implementado, pode-se considerar também a pior implementação de um portão unitário por um canal definindo$U$$\mathcal{E}$

$$F(U,\mathcal{E})=\min_{|\psi\rangle}F(U|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$$

Na fórmula que você deu e no artigo que vinculou, eles se integram acima de , com uma medida apropriada . Isso me faz pensar que isso deveria ser considerado uma fidelidade média , que você pode imaginar que pode ser mais útil em experimentos práticos, especialmente se você estiver repetindo o experimento. Provavelmente é improvável que você atinja o mínimo exato.* ˉ F ( L , ~ L$\psi$$^*$$\bar{F}(U,\tilde{U})$

Há uma versão arXiv de um artigo aqui de Michael Nielsen, onde ele fala sobre a fidelidade média dos portões.

A única diferença extra entre a fidelidade de um portão e a fidelidade média de um portão mencionado versus a fórmula que você forneceu inicialmente é o quadrado do rastreamento: você possui. Como na atualização 1, algumas pessoas preferem usar como a fidelidade, em vez de , pois supostamente pode ser conectado mais facilmente à fidelidade do emaranhamento. Eu preciso ler um pouco mais sobre isso para comentar corretamente.F 2$[\operatorname{trace}]^2$$F^2$$F$

( ) Além disso : acho que chamá-lo de 'medida de Haar' pode ser enganosa, eu já vi isso em jornais também. Até onde eu sei, o espaço de estados puros geralmente é topologicamente , para um espaço hilbert dimensional. Aparentemente, a medida que eles usam é herdada da medida haar em por um quociente, ou pelo menos eu li aqui: /physics//a/98869/41998 .C P n n U ( n $\,^*$$\Bbb{CP}^n$$n$$U(n)$