Alternativa à esfera de Bloch para representar um único qubit

Para representar o qubit único , usamos um vetor unitário em um espaço Hilbert cuja (uma das) bases ortonormais é .$|\psi\rangle$$\mathbb{C}^2$$(|0\rangle, |1\rangle)$

Podemos desenhar usando uma bola de Bloch . No entanto, achei esta notação bastante confusa, porque os vetores ortogonais são espacialmente antiparalelos ( breve explicação nesta questão da Physics Stackexchange ).$|\psi\rangle$

Você conhece alguma representação gráfica diferente para um único qubit?

No link incluído na sua pergunta, sobre outra pergunta escrita por user098876, "Entendendo a esfera de Bloch", Daniel faz um comentário útil:

"Desenhar pontos na esfera para representar o estado de um sistema quântico de dois níveis não significa que você deva pensar nesses pontos como vetores reais no espaço 3D. - DanielSank 3 de setembro de 15 às 20:17".

Explicação simplificada: é um plano de dois lados (ou dois planos) projetado em uma esfera.

"Achei essa notação bastante confusa, porque os vetores ortogonais são espacialmente antiparalelos ( breve explicação nesta pergunta da Physics Stackexchange ). Você conhece alguma representação gráfica diferente para um único qubit?"

Existem vários esforços em andamento para fornecer uma representação mais geral que se estende de qubits a qudits. Essa explicação e representação usando uma esfera de Majorana não é tão diferente , ainda é uma esfera, mas talvez seja menos confusa:

Para qubits em uma esfera de Majorana, veja: " N-qubit afirma como pontos na esfera de Bloch ".

"Resumo. Mostramos como a representação de Majorana pode ser usada para expressar os estados puros de um sistema de N-qubit ... Em conclusão, a representação de Majorana é útil quando são estudadas partículas spin- , enquanto a representação alternativa é preferível quando o são discutidos os estados de um sistema de -bit. Além de ajudar a visualizar os estados de qubit e a maneira como eles se transformam em rotações e outras operações, a última representação também pode ajudar a identificar alguns estados especiais de qubit, como a representação de Majorana fez em o contexto dos condensadores de spinose Bose-Einstein ".$S$$N$$N$$N$

Veja: " Representação de Majorana, espaço qutrit Hilbert e implementação de NMR de portas qutrit ":

Página 1:

"A esfera de Bloch fornece uma representação dos estados quânticos de um único qubit em (uma esfera unitária em três dimensões reais), com estados puros mapeados na superfície e estados mistos no interior. Essa representação geométrica é útil para fornecer uma visualização dos estados quânticos e suas transformações, particularmente no caso da computação quântica baseada em RMN, em que o spin-$\mathcal S^2$$\frac{1}{2}$a magnetização e sua transformação através dos pulsos NMR rf são visualizadas na esfera de Bloch. Houve várias propostas para a representação geométrica para sistemas quânticos de nível superior, no entanto, extensões de uma imagem de esfera de Bloch a giros mais altos não são simples. Uma representação geométrica foi proposta por Majorana na qual, um estado puro de um giro ' ' é representado por pontos '2 ' na superfície de uma esfera unitária, chamada esfera de Majorana.$s$$_s$

A representação Majorana para sistemas spin- encontrou aplicações difundidas, como determinar a fase geométrica dos spins, representando spinors por pontos, representação geométrica de estados emaranhados de múltiplos qubit, estatísticas de sistemas dinâmicos quânticos caóticos e caracterização da luz polarizada. Um qutrit único (sistema quântico de três níveis) é de particular importância nos esquemas de computação quântica baseados em qudit ( sistema quântico de nível ). Um qutrit é o menor sistema que exibe recursos quânticos inerentes, como a contextualidade, que foi conjecturado como um recurso para a computação quântica . A computação quântica de RMN qudit pode ser realizada usando núcleos com spin s>$s$$N$$N$$d$$\frac{1}{2}$ou pode ser modelado por dois ou mais núcleos spin- acoplados . Neste trabalho, usamos a descrição da esfera Majorana de um único qutrit, onde os estados de um qutrit são representados por um par de pontos em uma esfera unitária, para fornecer insights sobre o espaço de estados do qutrit.$\frac{1}{2}$

Page 5:

A magnitude do vetor de magnetização em um conjunto puro de um único qutrit pode assumir valores no intervalo . Pelo contrário, o conjunto puro de um qubit sempre possui magnitude unitária do vetor de magnetização associado a ele$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$ . A imagem geométrica do vetor de magnetização de qutrit único é fornecida pela representação de Majorana. O valor depende do comprimento da bissetriz e fica ao longo de$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$OO'$$z$-axis e é rotacionalmente invariável. Assim, correspondendo a um dado valor do comprimento da bissetriz, pode-se assumir esferas concêntricas com raios continuamente variáveis, cujas superfícies são as superfícies de magnetização constante. Os raios dessas esferas são iguais a , que variam no intervalo .$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$

Page 10:

OBSERVAÇÕES FINAIS

Uma representação geométrica de um qutrit é descrita neste trabalho, em que os estados do qutrit são representados por dois pontos em uma esfera unitária conforme a representação de Majorana. Uma parametrização de estados de qutrit único foi obtida para gerar estados arbitrários a partir de uma família de estados canônicos de um parâmetro por meio da ação de transformações . O vetor de magnetização spin- 1 foi representado na esfera de Majorana e os estados foram identificados como 'apontadores' ou 'não apontadores', dependendo do valor zero ou não zero da magnetização de rotação. As transformações geradas pela ação de S U ( 3 )$SO(3)$$1$$SU(3)$Os geradores também foram integrados ao quadro geométrico de Majorana. Ao contrário dos qubits, a decomposição dos portões quânticos de um quitro em termos de pulsos de radiofrequência não é direta e a representação da esfera de Majorana fornece uma maneira de descrever geometricamente esses portões. Observações atentas da dinâmica dos pontos que representam um qutrit na esfera de Majorana sob a ação de vários portões quânticos foram usadas para obter as decomposições de pulso de rf e os portões básicos de um quitro simples foram implementados experimentalmente usando RMN.

FIG. 1. Um qutrit na esfera Majorana é representada por dois pontos e P 2 , ligados com o centro da esfera, por linhas mostradas em vermelho e azul, respectivamente. θ 1 , ϕ 1 são os ângulos polares e azimutais correspondentes ao ponto P 1 ( θ 2 , ϕ 2 são os ângulos para o ponto P 2 ). (a) As raízes do polinômio de Majorana são mostradas no plano z = 0 pelos pontos P ′ 1 e P ′ $P_1$$P_2$$\theta_1$$\phi_1$$P_1$$\theta_2$$\phi_2$$P_2$$z = 0$$P'_1$$P'_2$, cuja projeção estereográfica dá origem à representação de Majorana. Três exemplos são mostrados, correspondendo à representação de Majorana dos vetores básicos de qutrit único , ( c $(b)\;\vert+1\rangle$ e ( d $(c)\;\vert0\rangle$ . Um dos pontos é mostrado como um círculo sólido (vermelho), enquanto o outro ponto é representado por um círculo vazio (azul).$(d)\;\vert-1\rangle$

Veja: " Representação Majorana dos Estados de Spin Superior " (.PDF) por Wheeler (Website) ou " Tomografia de Wigner de estados quânticos multispin ":

Como é usar a tomografia - "Neste artigo, desenvolvemos teoricamente um esquema de tomografia para funções esféricas de estados quânticos multipinos arbitrários. Estudamos esquemas experimentais para reconstruir a representação generalizada de Wigner de um determinado operador de densidade (representando estados quânticos mistos ou puros). ). "

Compare isso com a complexidade da esfera de Bloch representada em: " Representação da esfera de Bloch de fases geométricas de três vértices ". A forma é a mesma, é tudo como você visualiza a projeção usada.

Aqui está uma imagem menos ocupada:

Pense na esfera de Bloch cortada ao meio por uma folha de papel muito grande. Na borda do papel (infinito), qualquer ponto no topo da folha desenha uma linha até (infinito) o topo da bola (o fundo da bola na parte inferior da folha). Os pontos mais próximos do centro do papel (estados mistos) desenham linhas no centro da esfera. Isso representa a distância até o infinito em uma bola minúscula; um qubit / qudit é finito para que o papel não seja tão grande.

Agora desenhe pontos no papel 2D, desenhe linhas do papel para a bola, remova o papel e olhe para a bola transparente ou através dela para ver o outro ponto final da linha.

Uma explicação muito mais precisa e difícil é oferecida nos links acima.

Adicionando o que @pyramids transmitiu em sua resposta :

$\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$$\alpha, \beta \in \Bbb{C}$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$

$\Bbb{C}^2(\Bbb{R})$$n$$\Bbb{R}^n(\Bbb{R})$$4$$(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$$a(1,0,0,0)+b(0,1,0,0)+c(0,0,1,0)+d(0,0,0,1)$.

$\alpha = a + i b$$a,b\in \Bbb{R}$$\beta = c + id$$c,d\in \Bbb{R}$$|a+ib|^2+|c+id|^2=1\implies a^2+b^2+c^2+d^2=1$

$4$$2$$\alpha,\beta$$1$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$.

Agora, usando as coordenadas Hopf , digamos:

$$\alpha = e^{i\psi}\cos(\theta/2)$$

$$\beta = e^{i(\psi+\phi)}\sin(\theta/2)$$

$\theta$$0$$\pi$$\psi$$\phi+\psi$$0$$\pi$

$\theta/2$$\theta$

$\psi,\phi,\theta$

$\phi$$\alpha$$\beta$$\psi$$\alpha,\beta$$\phi$$\psi$$\alpha,\beta$$|e^{i\varphi}|=1$$\varphi$$\psi$$\alpha,\beta$ $\alpha$$e^{i\psi}$

Assim, acabamos com:

$$\alpha = \cos(\theta/2)$$ $$\beta=e^{i\phi}\sin(\theta/2)$$ $\theta$$0$$\pi$$\phi$$0$$2\pi$

$2$$3$$2$

Matematicamente, não é possível reduzir ainda mais os graus de liberdade e, portanto, diria que não há outra representação geométrica "mais eficiente" de um único qubit que a esfera de Bloch.

_{Fonte: Wikipedia: Bloch_Sphere}

A esfera de Bloch historicamente começou a descrever rotações nas quais o alto e o baixo podem realmente ser vistos como sendo (anti) paralelos ao invés de (matematicamente) ortogonais.

É possível descrever naturalmente (e talvez mais naturalmente!) O estado de um qubit de uma maneira que os estados ortogonais sejam realmente ortogonais. Então, um estado puro de 1 qubit ocupa um ponto na superfície de uma esfera quadridimensional.

(Primeiro, o requisito de "pontos de reputação" é estúpido - esse comentário deve ser um comentário na postagem anterior.)

Um único qubit em estado puro possui 2 graus reais de liberdade, e não 3, quando você quociente a magnitude e a fase (isto é, normalização complexa). Portanto, as superfícies bidimensionais mais razoáveis ​​poderiam ser usadas (por exemplo, a 2 esferas ou qualquer coisa topologicamente equivalente).

Encontrar uma representação útil é outra história. A esfera de Bloch tem uma extensão natural para estados mistos (que têm 3 graus de liberdade), enquanto isso não parece ser o caso de outra maneira.