O que significa emaranhar dois qubits?

Eu fiz algum tipo de pesquisa on-line sobre qubits e os fatores que os tornam infames, ou seja, permitir que os qubits mantenham 1 e 0 ao mesmo tempo e outro é que os qubits podem ser emaranhados de alguma forma, para que possam ter dados relacionados neles, não importa a que distância eles são (mesmo em lados opostos das galáxias).

Ao ler sobre isso na Wikipedia, vi uma equação que ainda é difícil de entender. Aqui está o link para a Wikipedia .

Questões:

1. Como eles estão enredados em primeiro lugar?

2. Como eles relacionam seus dados?

Para um exemplo simples, suponha que você tenha dois qubits em estados definidos e | 0 ⟩ . O estado combinado do sistema é | 0 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ ou | 00 ⟩ em taquigrafia.$|0\rangle$$|0\rangle$$|0\rangle\otimes |0\rangle$$|00\rangle$

Então, se aplicarmos os seguintes operadores aos qubits (a imagem é cortada da página wiki de codificação superdensa ), o estado resultante é um estado emaranhado, um dos estados da campainha .

Primeiro na imagem, temos o portão hadamard atuando no primeiro qubit, que de forma mais longa é modo que ele é o operador de identidade no segundo qubit.$H\otimes I$

A matriz hadamard se parece com onde a base é ordenada{| 0⟩,| 1⟩}.

$$H=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ $\{|0\rangle,|1\rangle\}$

Então, depois que o operador hadamard age, o estado é agora

$$(H\otimes I)(|0\rangle\otimes|0\rangle)=H|0\rangle\otimes I |0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes (|0\rangle)=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|10\rangle)$$

A próxima parte do circuito é um gate não controlado, que só atua no segundo qubit se o primeiro qubit for .$1$

Você pode representar como | 0 ⟩ ⟨ 0 | ⊗ I + | 1 ⟩ ⟨ 1 | ⊗ X , onde | 0 ⟩ ⟨ 0 | é um operador de projeção no bit 0 ou em forma de matriz ( 1 0 0 0$CNOT$$|0\rangle\langle0|\otimes I+|1\rangle\langle1|\otimes X$$|0\rangle\langle0|$$0$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ . Da mesma forma é ( 0 0 0 1 ) .$|1\rangle\langle1|$$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

O operador é o operador bit flip representado como ( 0 1 1 0 ) .$X$$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

No geral, a matriz é ( 1 0 0 0 $CNOT$$\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 & 0 \\ 0 & 1 &0 & 0 \\ 0 & 0 &0 & 1 \\0 & 0 &1 & 0 \\\end{pmatrix}$

Quando aplicamos , podemos usar a multiplicação de matrizes escrevendo nosso estado como um vetor ( $CNOT$, ou podemos apenas usar o formulário do produto tensorial.$\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\0 \end{pmatrix}$

$$CNOT (\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|10\rangle))=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$$

Vemos que para a primeira parte do estado o primeiro bit é 0 , então o segundo bit é deixado sozinho; a segunda parte do estado | 10 ⟩ o primeiro bit é 1 , então o segundo bit é invertidas de 0 para 1 .$|00\rangle$$0$$|10\rangle$$1$$0$$1$

Nosso estado final é

$$\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$$ que é um dos quatro estados de Bell que são maximamente estados emaranhados.

Para ver o que significa para eles serem emaranhados, observe que, se você medir o estado do primeiro qubit, digamos, se você descobriu que era um ele imediatamente informa que o segundo qubit também deve ser um 0 , porque essa é a nossa única possibilidade.$0$$0$

Compare com este estado, por exemplo:

$$\frac{1}{2}(|00\rangle+|01\rangle+|10\rangle+|11\rangle).$$

Se você medir que o primeiro qubit é zero, o estado cai para , em que ainda há uma chance 50-50 o segundo qbit é um 0 ou um 1 .$\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|01\rangle)$$0$$1$

Espero que isso dê uma idéia de como os estados podem ser enredados. Se você quiser conhecer um exemplo específico, como emaranhar fótons ou elétrons, etc., terá que examinar como certos portões podem ser implementados, mas ainda assim você pode escrever a matemática da mesma maneira, os e 1 podem representar coisas diferentes em diferentes situações físicas.$0$$1$

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Atualização 1: Mini Guia da notação QM / QC / Dirac

Geralmente, há uma base computacional (orto-normal) padrão para um único qubit que é , dizer H = extensão $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ é o espaço vectorial.$\mathcal{H}=\operatorname{span}\{|0\rangle,|1\rangle\}$

Nesta ordenação da base, podemos identificar com ( 1 0 ) e | 1 ⟩ com ( 0 1 ) . Qualquer operador de qubit único pode ser gravado em forma de matriz usando essa base. Por exemplo, um operador de inversão de bits X (após pauli- σ x ) que deve levar | 0 ⟩ ↦ | 1 ⟩ e | 1 ⟩ ↦ | 0 ⟩ , pode ser escrita como $|0\rangle$$\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$$|1\rangle$$\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$$X$$\sigma_x$$|0\rangle\mapsto |1\rangle$$|1\rangle \mapsto |0\rangle$ , a primeira coluna da matriz é a imagem do vetor de primeira base e assim por diante.$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

Quando você tem digamos múltipla -qubits que deveria pertencer ao espaço H ⊗ n : = n - t i m e s ⏞ H ⊗ H ⊗ ⋯ ⊗ H . Uma base para esse espaço é rotulada por seqüências de zeros e uns, por exemplo | 0 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ ⊗ ... ⊗ | 0 ⟩ , que é normalmente abreviado para simplicidade como | 011 ... 0 ⟩ .$n$$\mathcal{H}^{\otimes n}:=\overbrace{\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}}^{n-times}$$|0\rangle\otimes|1\rangle\otimes |1\rangle\otimes\ldots \otimes|0\rangle$$|011\ldots0\rangle$

Um exemplo simples para dois qubits, a base para , é { | 0 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ , | 0 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ , | 1 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ , | 1 ⟩ ⊗ | 1 ⟩ } ou na forma abreviada { | 00 ⟩ , | 01 ⟩ , | 10 ⟩ $\mathcal{H}^{\otimes 2}=\mathcal{H}\otimes \mathcal{H}$$\{|0\rangle\otimes|0\rangle,|0\rangle\otimes|1\rangle,|1\rangle\otimes|0\rangle,|1\rangle\otimes|1\rangle\}$ .$\{|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle\}$

Existem diferentes maneiras de ordenar essa base para usar matrizes, mas uma natural é ordenar as cadeias como se fossem números em binário, como acima. Por exemplo, para qubits, você pode solicitar a base como { | 000 ⟩ , | 001 ⟩ , | 010 ⟩ , | 011 ⟩ , | 100 ⟩ , | 101 ⟩ , | 110 ⟩ , | 111 ⟩ } $3$

$$\{|000\rangle,|001\rangle,|010\rangle,|011\rangle,|100\rangle,|101\rangle,|110\rangle,|111\rangle\}.$$

A razão pela qual isso pode ser útil é que corresponde ao produto Kronecker para as matrizes dos operadores. Por exemplo, primeiro olhando para os vetores de base:

$$|0\rangle\otimes |0\rangle=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}:=\begin{pmatrix} 1\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \\ 0\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\0\\0 \end{pmatrix}$$

e

$$|0\rangle\otimes |1\rangle=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}:=\begin{pmatrix} 1\cdot\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \\ 0\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 1\\0\\0 \end{pmatrix}$$

e da mesma forma

$$|1\rangle\otimes |0\rangle=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\1\\0 \end{pmatrix},\quad |1\rangle\otimes |1\rangle=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\0\\1 \end{pmatrix}$$

$X_1X_2:=X\otimes X$

$$X_1X_2=X\otimes X=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & 1\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\\ 1\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & 0\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 &0&0&1\\ 0 &0&1&0\\0 &1&0&0\\1 &0&0&0\\ \end{pmatrix}$$

If we look at the example of $CNOT$ above given as $|0\rangle\langle0|\otimes I+|1\rangle\langle1|\otimes X$.$^*$ This can be computed in matrix form as $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, which you can check is the $CNOT$ matrix above.

It's worthwhile getting used to using the shorthands and the tensor products rather than converting everything to matrix representation since the computational space grows as $2^n$ for $n$-qubits, which means for three cubits you have $8\times 8$ matrices, $4$-qubits you have $16\times 16$ matrices and it quickly becomes less than practical to convert to matrix form.

Aside$^*$: There are a few common ways to use dirac notation, to represent vectors like $|0\rangle$; dual vectors e.g. $\langle 0|$, inner product $\langle 0|1\rangle$ between the vectors $|0\rangle$ and $|1\rangle$; operators on the space like $X=|0\rangle\langle1|+|1\rangle\langle0|$.

An operator like $P_0=|0\rangle\langle0|$ is a projection operator is a (orthogonal) projection operator because it satisfies $P^2=P$ and $P^\dagger=P$.

Although the linked wikipedia article is trying to use entanglement as a distinguishing feature from classical physics, I think one can start to get some understanding about entanglement by looking at classical stuff, where our intuition works a little better...

Imagine you have a random number generator that, each time, spits out a number 0,1,2 or 3. Usually you'd make these equally probability, but we can assign any probability to each outcome that we want. For example, let's give 1 and 2 each with probability 1/2, and never give 0 or 3. So, each time the random number generator picks something, it gives 1 or 2, and you don't know in advance what it's going to be. Now, let's write these numbers in binary, 1 as 01 and 2 as 10. Then, we give each bit to a different person, say Alice and Bob. Now, when the random number generator picks a value, either 01 or 10, Alice has one part, and Bob has the other. So, Alice can look at her bit, and whatever value she gets, she knows that Bob has the opposite value. We say these bits are perfectly anti-correlated.

Entanglement works much the same way. For example, you might have a quantum state

$$\left|\psi\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|01\right\rangle-\left|10\right\rangle\right)$$ where Alice holds one qubit of $\left|\psi\right\rangle$, and Bob holds the other. Whatever single-qubit projective measurement Alice chooses to make, she'll get an answer 0 or 1. If Bob makes the same measurement on his qubit, he always gets the opposite answer. This includes measuring in the Z-basis, which reproduces the classical case.

The difference comes from the fact that this holds true for every possible measurement basis, and for that to be the case, the measurement outcome must be unpredictable, and that's where it differs from the classical case (you may like to read up about Bell tests, specifically the CHSH test). In the classical random number example I described at the start, once the random number generator has picked something, there's no reason why it can't be copied. Somebody else would be able to know what answer both Alice and Bob would get. However, in the quantum version, the answers that Alice and Bob get do not exist is advance, and therefore nobody else can know them. If somebody did know them, the two answers would not be perfectly anti-correlated. This is the basis of Quantum Key Distribution as it basically describes being able to detect the presence of an eavesdropper.

Something further that may help in trying to understand entanglement: mathematically, it’s no different to superposition, it’s just that, at some point, you separate the superposed parts over a great distance, and the fact that that is in some sense difficult to do means that making the separation provides you with a resource that you can do interesting things with. Really, entanglement is the resource of what one might call ‘distributed superposition’.

Entanglement is a quantum physical phenomenon, demonstrated in practical experiments, mathematically modeled in quantum mechanics. We can come up with several creative speculations of what it is (philosophically), but at the end of the day we just have to accept it and trust the math.

From a statistics point of view we can think of it as a complete correlation (1 or -1) between two random variables (the qubits). We may not know any these variables outcome beforehand, but once we measure one of them, due to the correlation, the other will be previsible. I recently wrote an article on how quantum entanglement is handled by a quantum computing simulator, wich you may find helpful as well.