Significado do espaço A Igreja do Alto Hilbert

O termo " Igreja do Espaço Hilbert Superior " é usado frequentemente em informações quânticas ao analisar canais e estados quânticos.

O que esse termo significa (ou, alternativamente, o que significa o termo "Indo para a Igreja do Espaço Hilbert Superior")?

A igreja do espaço maior (ou superior ou superior) de Hilbert é apenas um truque que algumas pessoas gostam (inclusive eu) de reescrever algumas operações.

As operações mais gerais que você pode escrever para um sistema são descritas por mapas completamente positivos, enquanto gostamos de descrever coisas com unitaristas, o que você sempre pode fazer passando do espaço original de Hilbert para um maior (por exemplo, adicionando mais qubits). Da mesma forma, para medições, você pode transformar medidas gerais em medidas projetivas, aumentando o tamanho do espaço Hilbert. Além disso, estados mistos podem ser descritos como estados puros de um sistema maior.

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Exemplo

Considere o mapa que aceita um qubit e com probabilidade não faz nada e, com probabilidade, p aplica a operação de inversão de bits X : | ip ⟩ ⟨ ip | ↦ ( 1 - p ) | ip ⟩ ⟨ ip | + p X | ip ⟩ ⟨ ip | $1-p$$p$$X$

$$|\psi\rangle\langle\psi|\mapsto (1-p)|\psi\rangle\langle\psi|+pX|\psi\rangle\langle\psi|X$$ Isso não é unitário, mas você pode descrevê-lo como unitário em dois qubits (ou seja, passando de uma dimensão espacial Hilbert 2 para uma dimensão espacial Hilbert 4). Isso funciona introduzindo um qubit extra no estado e realizando um controlo não-controlada pelo novo direccionamento qbit e o original. | ip⟩($\sqrt{1-p}|0\rangle+\sqrt{p}|1\rangle$ Para voltar a ação do sistema em apenas o qubit original, você traçar o novo qubit: ρ= T r 2( | vF⟩⟨vF | )=(1-p)| ip⟩⟨ip| +pX| ip⟩⟨ip| X $$|\psi\rangle(\sqrt{1-p}|0\rangle+\sqrt{p}|1\rangle)\mapsto|\Psi\rangle=\sqrt{1-p}|\psi\rangle|0\rangle+\sqrt{p}\left(X|\psi\rangle\right)|1\rangle.$$ $$\rho={\rm Tr}_2\left(|\Psi\rangle\langle\Psi|\right)= (1-p)|\psi\rangle\langle\psi|+pX|\psi\rangle\langle\psi|X.$$ Em outras palavras, você simplesmente ignora a existência do novo qubit depois de implementar o unitário! Observe que, além de demonstrar a igreja do maior espaço de operações de Hilbert, isso também o demonstra para estados - o estado misto pode ser transformado no estado puro | VF ⟩ , aumentando o tamanho do espaço de Hilbert.$\rho$$|\Psi\rangle$

"Igreja do espaço superior de hilbert" é um termo cunhado por John Smolin. De acordo com o quantiki , é:

para as construções de dilatação de canais e estados, [...] que fornecem uma caracterização clara do conjunto de operações quânticas permitidas

e para citar a wikipedia :

descreva [s] o hábito de considerar todo estado misto de um sistema quântico como um estado emaranhado puro de um sistema maior, e toda evolução irreversível como uma evolução reversível (unitária) de um sistema maior.

Veja também esta resposta Physics.SE .