O uso do termo "dimensão" nesta descrição do algoritmo de Simon?

Em Kaye, Laflamme e Mosca (2007) pg106, eles escrevem o seguinte (no contexto do algoritmo de Simon):

... onde é um de espaço vectorial -dimensional gerado por . $S=\{\mathbf{0},\mathbf{s}\}$ $2$ $\mathbf{s}$

esse não é o único lugar em que eu vi esse espaço vetorial chamado "bidimensional". Mas, certamente, o fato de que ele é estendido apenas por um vetor, , significa (por definição) que é apenas "unidimensional"? $\mathbf{s}$

Estou faltando alguma coisa aqui ou o uso do termo "dimensão" é diferente nessa área?

Mais Contexto

Como mencionado acima, o contexto é o algoritmo de Simon. Ou seja, existe um oráculo tal que se e somente se onde e é a adição em (isto é, bit a bit). O objetivo do algoritmo é encontrar . $f:\{0,1\}^n\rightarrow \{0,1\}^n$ $f(x)=f(y)$ $x=y\oplus \mathbf{s}$ $\mathbf{s}\in \{0,1\}^n$ $\oplus$ $\Bbb{Z}_2^n$ $\mathbf{s}$

Após aplicar um circuito relevante, a saída é uma distribuição uniforme de tal que . A declaração que citei acima refere-se ao fato de que, como e são a solução para esse problema, você só precisa de vetores linearmente independentes para encontrar . $\mathbf{z}\in \{0,1\}^n$ $\mathbf{z}\cdot\mathbf{s}=z_1s_1+z_2s_2\cdots+ z_ns_n=0$ $\mathbf{0}$ $\mathbf{s}$ $n-1$ $\mathbf{z}$ $\mathbf{s}$

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O termo também é usado no mesmo contexto no final da página 4 deste pdf ( versão da Wayback Machine ).

terminology simons-algorithm

— Espaguetificação quântica
fonte

você pode adicionar algum contexto para o uso dessa frase? O que é , o que é , você está falando de espaços de vetores reais / complexos, etc. De um modo geral, a dimensão do espaço em que um estado vive é simplesmente o número de modos diferentes suportados pelo sistema

s

$\boldsymbol s$

0

$\boldsymbol 0$

— glS

@glS Veja minha edição.

— Spaghettification Quantum

Ainda assim, você pode adicionar a frase completa da qual esse extrato é retirado?

— GLS

@glS Veja minha edição. Eu publiquei um link para um pdf que diz a mesma coisa no mesmo contexto. A razão pela qual não adicionei a frase completa é porque ela não adiciona nada - ela simplesmente define algo que não é relevante para minha pergunta.

— Spaghettification Quantum

Respostas:

Para representar um estado ' ' como um vetor em um espaço de Hilbert, o vetor ' ' deve de fato ser diferente de zero. Assim, o rótulo ' ' é apenas um rótulo para algum vetor designado (da norma 1) em nossa base computacional. Obviamente, isso é um abuso de notação, mas é bastante comum. A notação mais usual (e menos confusa) seria . Essa notação é usada até na página wiki sobre qubits . $\mathbf 0$ $\mathbf 0$ $\mathbf 0$ $\left|0\right>$

Construindo isso desde o início: temos espaços vetoriais bidimensionais e designamos elementos e nesses espaços vetoriais. Ambos estes elementos têm norma 1. Em seguida, formar o dimensional de espaço vectorial . Podemos designar uma base computacional com para . Dentro de existem dois vetores de interesse: e , com $n$ $V_i$ $\left| 0_i \right>$ $\left| 1_i \right>$ $2^n$ $V = \bigotimes_{i=1}^n V_i$ $\left| b_1 b_2 \ldots b_n \right>$ $b_1,\ldots,b_n \in \{0,1\}$ $V$ $V$ $\mathbf 0 = \left|00\ldots0\right>$ $\mathbf s = \left| s_1 s_2 \ldots s_n \right>$ $s_1, \ldots, s_n$ os bits de . O espaço vetorial é trivialmente bidimensional. $s$ $S = \mathbf{\text{span}} \{\mathbf 0, \mathbf s\} \subset V$

— JSQuareD
fonte

A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores que compõem sua base.
Para um qubit, existem dois vetores básicos: [1 0] e [0 1]. Portanto, a dimensão do espaço vetorial é 2.

Se você ler a pergunta original, o problema não está relacionado aos qubits, mas à maneira como Kaye, Laflamme e Mosca estão usando a notação. (Dito isto, o título inicial da questão foi talvez um pouco confusa.)

— Niel de Beaudrap