Por que é crucial que o hamiltoniano inicial não comute com o hamiltoniano final na computação quântica adiabática?

Eu li em várias fontes e livros sobre computação quântica adiabática (AQC) que é crucial que o hamiltoniano não comute com o hamiltoniano , ou seja, . Mas nunca vi uma discussão sobre por que é tão importante. H f[ H i, H f]≠$\hat{H}_i$ $\hat{H}_f$$\left[\hat{H}_i,\hat{H}_f\right]\neq 0$

Se assumirmos uma dependência de tempo linear, o Hamiltoniano do AQC é que é a escala de tempo adiabática.

Portanto, minha pergunta é: por que é crucial que o hamiltoniano inicial não comute com o hamiltoniano final?

No controle de qualidade adiabático, você codifica seu problema em um hamiltoniano de forma que seu resultado possa ser extraído do estado fundamental. É difícil preparar diretamente esse estado fundamental, então você prepara o estado fundamental de um hamiltoniano 'fácil' e depois interpola lentamente entre os dois. Se você for lento o suficiente, o estado do seu sistema permanecerá no estado fundamental. No final do seu processo, você terá a solução.

Isso funciona de acordo com o teorema adiabático . Para que o teorema se mantenha, deve haver uma lacuna de energia entre o estado fundamental e o primeiro estado excitado. Quanto menor a distância, mais lento você precisará interpolar para evitar a mistura entre o estado fundamental e os primeiros estados excitados. Se a lacuna fechar, essa mistura não poderá ser evitada e você não poderá ir devagar o suficiente. O procedimento falha nesse ponto.

Se o Hamiltoniano inicial e final comutar, significa que eles têm os mesmos eigenstates de energia. Então eles concordam em quais estados recebem energia designada e apenas discordam das energias que recebem. Interpolar entre os dois hamiltonianos apenas muda as energias. O estado fundamental final seria, portanto, um estado excitado no início e o estado fundamental original se excita no final. Em algum momento, ao passar um pelo outro, as energias desses estados serão iguais e, portanto, a lacuna entre eles se fechará. Isso é suficiente para ver que a diferença de energia deve diminuir em algum momento.

Ter Hamiltonianos não pendulares é, portanto, uma condição necessária para manter a lacuna aberta e, portanto, para o AQC.

Se duas matrizes (neste caso, hamiltonianas) comutarem, elas terão os mesmos vetores próprios. Portanto, se você preparar um estado fundamental do primeiro hamiltoniano, isso permanecerá (grosso modo) um eigenstate durante toda a evolução adiabática, e assim você conseguirá exatamente o que colocar. Não há valor nisso.

Se você quer ser um pouco mais rigoroso, pode ser que o seu hamiltoniano inicial tenha uma degeneração que é levantada pelo segundo hamiltoniano, e você pode estar esperando fazer com que o sistema evolua para um estado fundamental único. Observe, no entanto, que a degeneração é elevada no instante em que há uma quantidade diferente de zero do segundo hamiltoniano. Qualquer efeito que ele possa ter é instantâneo. Eu acredito que você não consegue uma evolução adiabática adequada. Em vez disso, você deve escrever seu estado inicial como uma superposição dos novos eigenstates, e estes começam a evoluir com o tempo, mas você nunca aumenta a sobreposição de seu estado com o estado de destino (o estado fundamental).

$\sigma^Z$$t$

Além disso, mesmo indo além dos limites estritos do AQC (por exemplo, recozimento quântico de sistema aberto, QAOA etc.) se o hamiltoniano condutor comuta, ele não pode induzir transições entre os estados próprios do problema hamiltoniano, mas apenas alterar a fase das amplitudes na função de onda ; e você deseja um driver capaz de induzir spin-flips para explorar o espaço de pesquisa.

$H_i$$H_f$

$H_i= \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$H_p= \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

$H_i$$|1\rangle$$H_f$$|0\rangle$

$\epsilon$
$\tau\ge \max_t\left(\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

Isto é dado e explicado na Eq. 2 de Tanburn et al. (2015) .

• $\epsilon = 0.1$
• $||H_i - H_f||^2 = 0.1$
• $\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon}=1$$\epsilon$
• $\tau \ge \max_t\left(\frac{1}{E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

$\max_t$
$t=20\tau/29$

$H=\frac{9}{29}H_i + \frac{20}{29}H_p$

$H=\frac{9}{29}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} + \frac{20}{29}\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{9}{29} & 0\\ 0 & -\frac{9}{29} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-\frac{20}{29} & 0\\ 0 & -\frac{2}{29} \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{-11}{29} & 0\\ 0 & -\frac{11}{29} \end{pmatrix}$

$t=\frac{20}{29}\tau$$E_{\rm{gap}}=0$$\tau$$\infty$

Portanto, o teorema adiabático ainda se aplica, mas quando afirma que o Hamiltoniano precisa mudar "devagar o suficiente", verifica-se que precisa mudar "infinitamente devagar", o que significa que você provavelmente nunca obterá a resposta usando o AQC.