Por que as portas quânticas são unitárias e não especiais?

Dado que as fases globais dos estados não podem ser discernidas fisicamente, por que os circuitos quânticos são redigidos em termos de unidades e não unidades especiais? Uma resposta que recebi foi que é apenas por conveniência, mas ainda não tenho certeza.

Uma questão relacionada é a seguinte: existem diferenças na implementação física de uma (matriz matemática) unitária e , digamos em termos de alguns portões elementares? Suponha que não exista (qual é o meu entendimento). Então a implementação física de e deve ser a mesma (basta adicionar controles aos portões elementares). Mas entro na contradição de que e desses dois unitários podem não ser equivalentes até a fase (como matrizes matemáticas); portanto, parece plausível que correspondam a diferentes implementações físicas .V : = e i α U c - U c - V c - U c - $U$$V: =e^{i\alpha}U$$c\text{-}U$$c\text{-}V$$c\text{-}U$$c\text{-}V$

O que fiz de errado no meu raciocínio aqui, porque sugere agora que e devem ser implementados de maneira diferente, mesmo que sejam equivalentes até a fase?$U$$V$

Outra questão relacionada (de fato, a origem da minha confusão, ficaria muito grata por uma resposta a esta): parece que se pode usar um circuito quântico para estimar o módulo e a fase da sobreposição complexa (consulte https://arxiv.org/abs/quant-ph/0203016 ). Mas isso não implica novamente que e sejam mensuradamente diferentes?L e i α$\langle\psi|U|\psi\rangle$$U$$e^{i\alpha}U$

Mesmo se você se limitar apenas a operações unitárias especiais, os estados ainda acumularão a fase global. Por exemplo, é unitário especial, mas . Z ⋅ | 0 ⟩ = i | 0 ⟩ ≠ | 0 $Z = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$$Z \cdot |0\rangle = i |0\rangle \neq |0\rangle$

Se os estados vão acumular uma fase global não observável de qualquer maneira , que benefício obtemos ao nos limitarmos a operações unitárias especiais?

existem diferenças na implementação física de um (matriz matemática) unitário e , digamos, em termos de alguns portões elementares?V : = e i α$U$$V :=e^{i\alpha}U$

Desde que você não esteja fazendo nada que possa tornar relevantes as fases globais, elas podem ter a mesma implementação. Mas se você vai fazer algo como, uh-

adicionar controles aos portões elementares

Sim, assim. Se você faz coisas assim, não pode ignorar as fases globais. Os controles transformam fases globais em fases relativas. Se você deseja ignorar completamente a fase global, não pode ter um modificador de operação "adicionar um controle" de caixa preta.

O fato de os portões quânticos serem unitários está enraizado no fato de que a evolução dos sistemas quânticos (fechados) é feita pela equação de Schrödiner. Por um intervalo de tempo em que estamos tentando realizar uma transformação unitária específica a uma taxa constante, usamos a equação de Schrödinger independente do tempo:

$$\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} \lvert \psi(t) \rangle = \tfrac {1}{i\hbar}H \lvert \psi(t) \rangle,$$

onde é o hamiltoniano do sistema: uma matriz hermitiana, cujos valores próprios descrevem valores próprios de energia. Em particular, os autovalores de são reais. A solução para esta equação é$H$$H$

$$\lvert \psi(t) \rangle = \exp\bigl(-i H t/\hbar\bigr) \lvert \psi(0) \rangle$$ que é a matriz que você obtém os vetores próprios de e substitui os valores próprios por . Assim, a partir de uma matriz com valores próprios reais, obtemos uma matriz cujos valores próprios são números complexos com norma unitária.$U = \exp(-iHt/\hbar)$$H$$E$$\mathrm{e}^{iEt/\hbar}$

O que seria necessário para essa evolução ser especificamente uma matriz unitária especial? Uma matriz unitária especial é aquela cujo determinante é precisamente ; ou seja, cujos valores próprios todos se multiplicam para . Isso corresponde à restrição de que todos os autovalores de somam zero. Além disso, como os valores próprios de são níveis de energia, sejam eles$1$$1$$H$$H$a soma de seus autovalores é igual a zero depende de como você decidiu fixar qual é o seu ponto de energia zero - o que é, na verdade, uma escolha subjetiva do quadro de referência. (Em particular, se você decidir adotar a convenção de que todos os seus níveis de energia não são negativos, isso implica que nenhum sistema interessante jamais terá a propriedade dos autovalores de energia que somam zero).

Em suma, os portões são unitários e não unitários especiais, porque o determinante de um portão não corresponde a propriedades fisicamente significativas - no sentido explícito de que o portão surge da física e as condições que correspondem ao determinante do portão são 1 é uma condição do próprio quadro de referência e não a dinâmica física.

Ao escrever portões para, por exemplo, um diagrama de circuito quântico, você sempre pode escrevê-los usando a convenção de ter um determinante (do grupo unitário especial), mas é apenas uma convenção. Não faz diferença física para o circuito que você implementa. Como disse em outro lugar , se o que você produz naturalmente corresponde diretamente à unitária especial é realmente uma escolha de convenções, e onde você define o seu 0 energia para ser.

Quanto ao problema em que você começa a implementar o controlado , há uma comparação interessante a ser feita. Digamos que definimos . Como podemos implementar controlado em termos de controlado ? Você aplica controlado e, em seguida, no qubit de controle, aplica o gate de fase . Há duas coisas a serem observadas aqui. Primeiro, a diferença está no qubit de controle e não no qubit de destino. O qubit alvo, onde você está implementando oV = e i α V U U ( 1 0 0 e i α ) U ( e - i α / 2 0 0 e i α / 2$U$$V=e^{i\alpha}$$V$$U$$U$$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\alpha} \end{array}\right)$$U$, realmente não se importa com a diferença de fase. É o qubit de controle atingido pelo portão da fase. A segunda é que eu não escrevi o gate de fase como uma unidade especial. Obviamente, eu poderia ter escrito como mas não o fiz, porque a maneira que escolhi escrever era notoriamente mais conveniente - menos escrita para mim e, espero, mais imediatamente óbvia para você por que funciona.$\left(\begin{array}{cc} e^{-i\alpha/2} & 0 \\ 0 & e^{i\alpha/2}\end{array}\right)$

Resposta pura e simples: Na ausência de decoerência, os vetores de estado evoluem de acordo compara umHamiltoniano. É isso que um "portão" está fazendo. Os hamiltonianos têm que ser eremitas, portanto essa transformação é unitária. Os hamiltonianos não precisam ter valores próprios que somam 0, portanto a transformação não precisa ser unitária especial.$|\psi(t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(0)\rangle$$H$