Sequência mais curta de portões quânticos universais que correspondem a uma dada unidade

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Pergunta: Dada uma matriz unitária atuando em qubits, podemos encontrar a menor seqüência de portas Clifford + T que corresponde a essa unidade? $n$

Para um pano de fundo sobre a questão, duas referências importantes:

Síntese exata rápida e eficiente de unidades de um único qubit geradas por Clifford e T gates por Kliuchnikov, Maslov e Mosca
Síntese exata de circuitos Clifford + T multiqubit por Giles e Selinger.

circuit-construction universal-gates gate-synthesis

— user120404
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Bem-vinda! Eu adicionei duas referências sobre o tópico para o contexto. Reverta ou corrija se eles não forem adequados. Além disso, se mais detalhes poderiam ser adicionados à pergunta seria ótimo :)

— agaitaarino

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Obter uma decomposição ideal é definitivamente um problema em aberto. (E, é claro, a decomposição é intratável, gates para . Grande ). Uma pergunta "mais simples" que você pode perguntar primeiro é qual é a menor seqüência de cnots e rotações de qubit único por qualquer ângulo (o que IBM, Rigetti e, em breve, o Google oferece atualmente, essa base universal de portões pode ser expressa em termos de sua base de Cliffords e t-gates). Essa pergunta "mais simples" também está aberta e tem uma resposta não exclusiva. Uma questão relacionada é o que é uma decomposição ideal exata dos portões de uma base universal para ir do estado fundamental para um determinado estado final. $\exp(n)$ $n$

Suponho que você esteja se referindo a decomposições exatas. Se você deseja decomposições aproximadas, existem métodos diferentes para isso, como a decomposição Trotter-Suzuki ou aproximação aproximada de uma decomposição exata.

O "compilador quântico de csd" no Qubiter faz uma decomposição não otimizada de qualquer n qubit unitário em cnots e rots de qubit único usando a famosa sub-rotina csd (Cosine-Sine Decomposition) do LAPACK. Alguma pessoa empreendedora poderia tentar encontrar otimizações para o compilador quântico do Qubiter. Você pode usar o compilador do Qubiter, por exemplo (escrevi um artigo sobre isso), para deixar seu computador clássico redescobrir a decomposição quântica da Transformada de Fourier da Coppersmith!

O Qubiter é de código aberto e está disponível no github (divulgação completa - escrevi).

— rrtucci
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A decomposição também é intratável para as unidades compostas exclusivamente pela multiplicação dos portões de Clifford? Estou procurando construir um gerador de circuito aleatório e gostaria de inserir uma camada de inversão após os portões aleatórios, para terminar com um estado determinístico (neste caso, igual ao inicial). No entanto, em vez de apenas espelhar o circuito, eu estava imaginando que é possível calcular com eficiência uma camada de inversão se o circuito de entrada for composto apenas por Cliffords?

— Kelthar 14/01

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Suponha que fosse possível uma síntese exata para o seu unitário fornecido (o número de restrição teórica nas entradas) e, portanto, os algoritmos descritos na pergunta forneceram uma sequência de portas Clifford + T que implementaram esse unitário. Conforme declarado no artigo de Giles-Selinger, você obtém uma sequência que está muito longe do ideal. Portanto, nesse ponto, você reduziu o problema da palavra no grupo gerado pelo conjunto de portas Clifford + T. Alguns grupos têm algoritmos para encurtar uma determinada palavra enquanto ainda representam o mesmo elemento do grupo em uma forma normal que é a mais curta dentro dessa classe. Outros não fazem.

$2$ $S_1$ $1$ $CNOT_{12}$ $1$ $S_i^4=1$ $X_i Y_j = Y_j X_i$ $i \neq j$ $S_1 S_1 S_2 S_1 S_1$ $S_1 S_2 = S_2 S_1$ $S_1^4=1$ $S_2$ como uma palavra mais curta que representa o mesmo elemento do grupo. Para uma determinada apresentação em grupo, é necessário um algoritmo que pegue uma palavra arbitrária e a reduz. Em geral, isso não é possível.

Isenção de responsabilidade para abaixo: Projeto futuro / implementação conjunta de Haskell com Jon Aytac.

$r_i$ $(r_i r_j)^{m_{ij}}=1$ . Esse é um grupo de Coxeter relacionado ao conjunto de portas Clifford + T, mas com um problema de palavras solucionável com eficiência. Portanto, pode-se pegar o resultado do algoritmo de Giles-Selinger e potencialmente encurtá-lo usando apenas essas relações muito simples (depois de examinar segmentos com apenas aquelas letras de involução). De fato, qualquer algoritmo que pega um dado unitário e o aproxima ou sintetiza exatamente no Clifford + T pode ser alimentado nesse procedimento para encurtá-lo um pouco.

— AHusain
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