Como o tamanho de um toro com código tórico afeta sua capacidade de proteger qubits?

O código Toric Hamiltoniano é:

$\sum_{x,y}\left( \prod_{i\in p(x,y)} Z_{ixy} + \prod_{i\in v(x,y)} X_{ixy} \right),$

onde a e são definidos de acordo com esta imagem (cortesia da contribuição de James Wooton a Wikipedia):$v$$p$

No momento, temos uma estrutura 2D infinita:

y → ± $x\rightarrow \pm \infty$
$y\rightarrow \pm \infty$ .

Mas se definirmos condições de contorno periódicas tais que (e fique à vontade para editar a pergunta, se estiver incorreto sobre isso):

$p(x+10,y)=p(x,y)$
$v(x,y+10)=v(x,y)$ ,

Temos o seguinte toro (imagem cortesia da contribuição de James Wooton para a Wikipedia):

Agora, nas minhas condições periódicas de contorno, escolhi adicionar mas poderia ter adicionado outro número. Como esse "tamanho do toro" afeta a função do código tórico?$+10$

$N$$N\times N$

$N$$N$$O(N^2)$$N\rightarrow\infty$$O(N)$$N$