O emaranhamento é transitivo?

O emaranhamento é transitivo , no sentido matemático?

Mais concretamente, minha pergunta é a seguinte:

Considere 3 qubits e . Assuma isso $q_1, q_2$ $q_3$

$q_1$ e estão emaranhados, e que $q_2$
$q_2$ e estão enredados $q_3$

Em seguida, são e emaranhado $q_1$ $q_3$ ? Se sim, por quê? Caso contrário, existe um contra-exemplo concreto?

Na minha noção de emaranhado:

os qubits e estão entrelaçados; se, após rastrear , os qbits e estiverem entrelaçados (rastrear corresponde à medição de e descartando o resultado). $q_1$ $q_2$ $q_3$ $q_1$ $q_2$ $q_3$ $q_3$
os qubits e estão emaranhados, se após rastrear , os e estão emaranhados. $q_2$ $q_3$ $q_1$ $q_2$ $q_3$
qubits e estão embaraçados, se depois de traçar , os qbits e estão entrelaçados. $q_1$ $q_3$ $q_2$ $q_1$ $q_3$

Sinta-se à vontade para usar qualquer outra noção razoável de envolvimento (não necessariamente a acima), desde que você afirme claramente essa noção.

entanglement

— Pedro
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Você pode confirmar a última declaração? Após a sua pergunta, eu esperava uma declaração semelhante, mas com os rótulos em uma ordem diferente (uma declaração sobre o emaranhado de q1 e q3 após medir q2).

— agaitaarino

@agaitaarino i atualizou a parte sobre "emaranhamento", que deveria ser mais claro agora ...

— Peter

Eu estive considerando os quadrados latinos como uma matriz de probabilidade na qual os elementos para qualquer matriz dimensional são "entrelaçados", em que as probabilidades de qualquer elemento expresso são interdependentes. Quando você adiciona cotas, essas matrizes unidimensionais se cruzam ortogonalmente com outras matrizes unidimensionais, estendendo o "entrelaçamento". (Meu palpite é este é aproximadamente tão longe no mato como se pode obter re: noções atípicos emaranhamento, mas eu não sou a primeira pessoa a levantar a idéia de alguns "similaridades em espírito" entre QT e quadrados latinos / Sudoku.) Obrigado você por esta pergunta!

— DukeZhou

Agora que você esclareceu que está descartando o resultado da medição, este não é o emaranhado localizável que eu pensei que você estava falando, é a noção mais comum. É melhor falar em "rastrear" o qubit extra em vez de medir e descartando o resultado.

— DaftWullie

@DaftWullie Thanks! Eu atualizei a pergunta de acordo #

— Peter Peter

Respostas:

TL; DR: Depende de como você escolhe medir o emaranhamento em um par de qubits. Se você rastrear os qubits extras, clique em "Não". Se você medir os qubits (com a liberdade de escolher a base de medição ideal), então "Sim".

Let ser um estado quântico puro de 3 qubits, marcados A, B e C. Será dizer que A e B são enredadas se não é positiva, sob a acção do mapa de transposição parcial. Essa é uma condição necessária e suficiente para detectar emaranhamento em um sistema de dois qubit. O formalismo parcial de rastreamento é equivalente a medir o qubit C de forma arbitrária e descartar o resultado. $|\Psi\rangle$ $\rho_{AB}=\text{Tr}_C(|\Psi\rangle\langle\Psi|)$

Há uma classe de contra-exemplos que mostram que o emaranhamento não é transitivo , da forma fornecido. Se você rastrear qubitou qubit, obterá a mesma matriz de densidade ambas as vezes:

| Ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 000 ⟩ + | 1 ϕ ϕ ⟩),

$|\Psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|000\rangle+|1\phi\phi\rangle),$

| ϕ ⟩ \neq | 0 ⟩, | 1 ⟩

$|\phi\rangle\neq |0\rangle,|1\rangle$

B

$B$

C

$C$

Você pode tomar a transposição parcial disso (aceitar o primeiro sistema é o mais limpo):

ρ_{A C} = ρ_{A B} = \frac{1}{2} (| 00 ⟩ ⟨ 00 | + | 1 ϕ ⟩ ⟨ 1 ϕ | + | 00 ⟩ ⟨ 1 ϕ | ⟨ ϕ | 0 ⟩ + | 1 ϕ ⟩ ⟨ 00 | ⟨ 0 | ϕ ⟩)

$\rho_{AC}=\rho_{AB}=\frac12\left(|00\rangle\langle 00|+|1\phi\rangle\langle 1\phi|+|00\rangle\langle 1\phi|\langle\phi|0\rangle+|1\phi\rangle\langle 00|\langle0|\phi\rangle\right)$

Agora pegue o determinante (que é igual ao produto dos valores próprios). Você obtém

ρ^{P T} = \frac{1}{2} (| 00 ⟩ ⟨ 00 | + | 1 ϕ ⟩ ⟨ 1 ϕ | + | 10 ⟩ ⟨ 0 ϕ | ⟨ ϕ | 0 ⟩ + | 0 ϕ ⟩ ⟨ 10 | ⟨ 0 | ϕ ⟩)

$\rho^{PT}=\frac12\left(|00\rangle\langle 00|+|1\phi\rangle\langle 1\phi|+|10\rangle\langle 0\phi|\langle\phi|0\rangle+|0\phi\rangle\langle 10|\langle0|\phi\rangle\right)$

que é negativo, então deve haver um valor próprio negativo. Assim,

são pares emaranhados. Enquanto isso,

det (ρ^{P T}) = - \frac{1}{16} | ⟨ 0 | ϕ ⟩ |^{2} (1 - | ⟨ 0 | ϕ ⟩ |^{2})^{2},

$\text{det}(\rho^{PT})=-\frac{1}{16}|\langle 0|\phi\rangle|^2(1-|\langle 0|\phi\rangle|^2)^2,$

(A B)

$(AB)$

(A C)

$(AC)$

Como essa é uma matriz de densidade válida, não é negativa. No entanto, a transposição parcial é igual a si mesma. Portanto, não há autovalores negativos e

não está emaranhado.

ρ_{B C} = \frac{1}{2} (| 00 ⟩ ⟨ 00 | + | ϕ ϕ ⟩ ⟨ ϕ ϕ |) .

$\rho_{BC}=\frac12(|00\rangle\langle 00|+|\phi\phi\rangle\langle\phi\phi |).$

(B C)

$(BC)$

Emaranhamento localizável

Em vez disso, pode-se falar sobre o envolvimento localizável . Antes de mais esclarecimentos, é a isso que eu pensei que o OP estava se referindo. Nesse caso, em vez de rastrear um qubit, é possível medi-lo com base em sua escolha e calcular os resultados separadamente para cada resultado de medição. (Mais tarde, há algum processo de média, mas isso será irrelevante para nós aqui.) Nesse caso, minha resposta é especificamente sobre estados puros, não estados mistos.

A chave aqui é que existem diferentes classes de estados emaranhados. Para 3 qubits, existem 6 tipos diferentes de estado puro:

um estado totalmente separável
3 tipos em que existe um estado emaranhado entre duas partes e um estado separável na terceira
um estado W
um estado GHZ

$(q_1,q_2)$ $(q_2,q_3)$

| W ⟩ = \frac{1}{\sqrt{3}} (| 001 ⟩ + | 010 ⟩ + | 100 ⟩) | G H Z ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 000 ⟩ + | 111 ⟩)

$|W\rangle=\frac{1}{\sqrt{3}}(|001\rangle+|010\rangle+|100\rangle)\qquad |GHZ\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|000\rangle+|111\rangle)$

— DaftWullie
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Obrigado, isso já esclarece bastante. Você poderia me indicar a medida "padrão" de entrelaçamento? Eu posso querer usar isso explicitamente na minha pergunta.

— Peter

@ Peter: veja se a versão editada ajuda ainda mais.

— DaftWullie

Obrigado por esta resposta! Posso fazer uma pergunta ingênua sobre meios de simetria neste contexto "Ambos os representantes são simétricos sob a troca das partículas". (Eu estou muito interessado em diferentes conceitos de simetria em geral.)

— DukeZhou

@DaftWullie: considerando que sua resposta parece ser "não, o emaranhado não é transitivo, mesmo em sistemas de três qubit", talvez você devesse condensar sua resposta para tornar isso um pouco mais óbvio?

— Niel de Beaudrap

{SWAP}_{A, B} | Ψ ⟩ = | Ψ ⟩

$\text{SWAP}_{A,B}|\Psi\rangle=|\Psi\rangle$

Esta não é uma resposta, mas apenas alguns fatos importantes que são importantes conhecer, a fim de evitar um território "nem errado" nesses tipos de perguntas.

"Enredamento" não é tudo ou nada. Apenas dizer "q1 está entrelaçado com q2 e q2 está entrelaçado com q3" não é informação suficiente para determinar a resposta a perguntas como "se eu medir q3, q1 ainda estará entrelaçado com q2?". O emaranhamento fica complicado ao lidar com sistemas maiores. Você realmente precisa conhecer o estado específico, a medição e se tem permissão para condicionar o resultado da medição.

Pode ser que q1, q2, q3 estejam emaranhados como um grupo, mas se você rastrear qualquer um dos qubits, a matriz de densidade dos dois restantes descreverá um mero estado classicamente correlacionado. (Por exemplo, isso acontece com os estados GHZ.)

Você deve estar ciente da monogamia do emaranhado . Após um certo limite, aumentar a força do emaranhamento entre q1 e q2 deve diminuir a força do emaranhado entre q1 e q3 (e equivalentemente q2 e q3).

— Craig Gidney
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yay por apontar a monogamia do emaranhado!

— agaitaarino

@agaitaarino que leva ao "entrelaçamento esmagado" e à entropia de Von Neumann!

— DukeZhou

Li o seguinte na tríplice classificação freudenthal do entrelaçamento de três qubit :

"Dür et al. ( Três qubits podem ser enredados de duas maneiras diferentes ) usaram argumentos simples relativos à conservação de fileiras de matrizes de densidade reduzida; existem apenas seis classes de equivalência de três qubit:

Nulo (a órbita trivial de emaranhamento zero correspondente aos estados de fuga)
Separável (outra órbita de emaranhamento zero para estados de produto completamente fatoráveis)
Biseparável (três classes de entrelaçamento bipartido: A-BC, B-AC, C-AB)
W (estados emaranhados de três vias que não violam maximamente as desigualdades do tipo Bell) e
GHZ (viola ao máximo as desigualdades do tipo Bell) "

que, pelo que entendi, a resposta para sua pergunta é sim : se A e B estão entrelaçados e B e C estão entrelaçados, você necessariamente está em um dos estados entrelaçados de três vias, de modo que A e C também estão entrelaçados.

— agaitaarino
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