Por que a decomposição de um hamiltoniano de qubit-qutrit em termos de matrizes de Pauli e Gell-Mann não é única?


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Se eu tenho o portão X atuando em um qubit e o portão λ6 atuando em um qutrit, onde λ6 é uma matriz de Gell-Mann , o sistema é submetido ao Hamiltoniano:

λ6X=(000000000000000001000010000100001000)

Caso alguém duvide dessa matriz, ela pode ser gerada com o seguinte script (MATLAB / oitava):

lambda6=[0 0 0; 0 0 1; 0 1 0];
X=      [0 1; 1 0 ];
kron(lambda6,X)

No entanto, considere a alternativa hamiltoniana:

.12Zλ1+12λ113Xλ8+13X

Este é exatamente o mesmo Hamiltoniano!

O script a seguir prova isso:

lambda1=[0 1 0;1 0 0;0 0 0];
lambda8=[1 0 0;0 1 0;0 0 -2]/sqrt(3);
Z=      [1 0; 0 -1 ];
round(-0.5*kron(Z,lambda1)+0.5*kron(eye(2),lambda1)-(1/sqrt(3))*kron(X,lambda8)+(1/3)*kron(X,eye(3)))

O "round" na última linha do código pode ser removido, mas o formato será mais feio porque alguns dos 0 acabam entre .1016

1) Eu pensei que a decomposição de Pauli para dois qubits é única. Por que a decomposição de Pauli-GellMann de um qubit-qutrit não é única?

2) Como obteria a decomposição partir da matriz 6x6 acima?λ6X

Respostas:


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Você obtém duas decomposições para sua matriz (vamos chamá-la de ) porque você está usando duas bases operacionais diferentes.A

No primeiro caso, você está considerando a matriz como agindo em um espaço de dimensão , ou seja, usando a base operacional { λ i σ j } i j{ λ iσ j } i j .3×2{λiσj}ij{λiσj}ij

Em outras palavras, você está computando os coeficientes , encontrando c 61 para ser o termo só não desaparecendo. Essa decomposição será única, porque tr [ ( λ i σ j ) ( λ k σ l ) ] = N i j δ i k δ j l .cij=tr((λiσj)A)c61tr[(λiσj)(λkσl)]=Nijδikδjl

Por outro lado, a segunda decomposição é obtida pensando em como uma matriz em um espaço de dimensões 2 × 3 , ou seja, decompondo-a usando a base operacional { σ i λ j } i j{ σ iλ j } i j . Isto dá-lhe novos coeficientes de d i jtr ( ( σ iX j ) A ) , que não tem que ser (e na verdade não o são) o mesmo que o cA2×3{σiλj}ij{σiλj}ijdijtr((σiλj)A) .cij

Não há paradoxo porque e { λ iσ j } i j são duas bases operatorial inteiramente diferentes para um espaço de dimensão 6 .{σiλj}ij{λiσj}ij6


Penso que esta é a resposta correta: simplesmente que as duas decomposições estão em bases diferentes, o que aludi no meu comentário à outra resposta: em um caso, ele atua primeiro no qubit, depois no qutrit, e no outro caso. é o contrário (bases diferentes). Eu poderia ter ficado confuso porque, até recentemente, eu estava trabalhando quase exclusivamente com hamiltonianos que continham matrizes Z (modelos Ising), e tudo muda lá para que esse problema nunca tenha surgido.
User1271772

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Isso parece essencialmente semelhante à propriedade de não comutatividade do produto Kronecker: :Xλ6λ6X

Xλ6=(0110)(000001010)=(000000000001000010000000001000010000)

Sem surpresa, você não pode se decompor 12Zλ1+12I2λ113Xλ8+13XI3=λ6XXλ6

Xλ6=PT(λ6X)P P

(PT=P1)

Xλ6=(ABCD),
A,B,CD3×3A=D=0B=C=λ6
Xλ6=(0λ6λ60)=Xλ6

Performing the rotation/permuting and applying the same idea gives

M=(000000000000000001000010000100001000)=(ABCD),
which gives that
A=0,B=C=(000000001),D=(010100000)=λ1

It follows that B=C=13I313λ8, giving

M=(013I313λ813I313λ8λ1)=12(IZ)λ1+X(13I313λ8).

Changing the order of the decomposition:

M=(ABCDEFGHJ),
which gives A=B=C=D=E=G=J=0 and F=H=X, in turn giving
M=(00000X0X0)=λ6X

I guess this answers the question: λ6X acts on the qutrir first then the qubit, whereas the other expression acts on the qubit first then the qutrir, but I still don't get why there's two decompositions because working with only qubits I've never seen something like this. I hate to edit the question after you did all this work, but the way it's written (which I apologize you already spent time answering) is wrong, because as you said, Xλ6 is not the matrix I have there :'(
user1271772

@user1271772 I'm not sure I understand: does this answer your question, after the typo was fixed?
glS

1
C2C3C6C3C2 but there is data in this isomorphism. Not canonical. Think with categories.
AHusain
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