Como pensar no portão Z em uma esfera de Bloch?

Estou confuso sobre como entender o portão em uma esfera de Bloch.$Z$

Considerando a matriz , é compreensível que e . Z | 0 ⟩ = | 0 ⟩ Z | 1 ⟩ = - | 1 $Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$Z|0\rangle = |0\rangle$$Z|1\rangle = -|1\rangle$

É explicado aqui que a porta é rotação em torno do eixoEntão, como devo entender ? Como é o polo sul, acho natural pensar que a rotação em torno do eixo não faz nada.π Z Z | 1 ⟩ = - | 1 ⟩ | 1 ⟩ ¸ $Z$$\pi$$Z$$Z|1\rangle = -|1\rangle$$|1\rangle$$\pi$$Z$

A maneira de pensar sobre a esfera de Bloch é em termos da matriz de densidade para o estado. atuando em qualquer um | 0 ⟩ ⟨ 0 | ou | 1 ⟩ ⟨ 1 | não faz nada, como acontece com qualquer matriz de densidade diagonal. Para ver o efeito da rotação, é necessário observar como qualquer matriz de densidade não diagonal é alterada por Z , como | + ⟩ ⟨ + | .$Z$$|0\rangle\langle 0|$$|1\rangle\langle 1|$$Z$$|+\rangle\langle +|$

e - | 1 ⟩ são designados para o mesmo ponto na esfera Bloch, porque eles são iguaisaté a fase mundial. Algebricamente: | 1 ⟩ ≡ - | 1 ⟩ onde ≡ significa "igual até a fase global". Ou seja, existe algum θ tal que - | 1 ⟩ = e i q | 1 ⟩ .$|1\rangle$$-|1\rangle$$|1\rangle \equiv -|1\rangle$$\equiv$$\theta$$-|1\rangle = e^{i \theta} |1\rangle$

O que está confundindo você é que, apesar do fato de que e | 1 ⟩ ≡ Z | 1 ⟩ , isto não é verdade para as combinações lineares dos dois. Por exemplo, Z | + ⟩ ≢ Z | + Though embora | + ⟩ = $|0\rangle \equiv Z |0\rangle$$|1\rangle \equiv Z |1\rangle$$Z |+\rangle \not\equiv Z |+\rangle$.$|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$

Conforme Wikipedia , podemos escrever qualquer estado puro como

$$|\psi\rangle = \cos\left( \frac{\theta}{2} \right) |0 \rangle + e^{i \phi} \sin\left( \frac{\theta}{2} \right) |1 \rangle$$

Onde e ϕ são os ângulos da esfera de Bloch:$\theta$$\phi$

Quase qualquer ponto da superfície (ou seja, estado puro) tem uma representação única em termos de ângulos, exceto os pólos. Assim como na Terra, o Polo Sul não tem longitude bem definida (qualquer longitude funciona da mesma maneira), para o estado qualquer fase φ significa a mesma coisa. A "latitude" θ está aqui π , vamos inserir isso na equação:$|1 \rangle$$\phi$$\theta$$\pi$

=0+ei& Phi;| 1

$$|1\rangle = \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) |0 \rangle + e^{i \phi} \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) |1 \rangle =$$ $$= 0 + e^{i \phi} |1 \rangle$$

Se você estiver familiarizado com a identidade de Euler, você provavelmente irá reconhecer como uma rotação no plano complexo. Em particular, como Z é uma rotação para ϕ = π , obtemos o famoso e i π = - 1 , chegando finalmente a | 1 ⟩ = - | 1 ⟩ .$e^{i \phi}$$Z$$\phi = \pi$$e^{i \pi} = -1$$|1 \rangle = - |1 \rangle$