É possível "calcular" o valor absoluto de uma permanente usando o Boson Sampling?

Na amostragem de bósons , se começarmos com 1 fóton em cada um dos primeiros modos $M$ de um interferômetro, a probabilidade de detectar 1 fóton em cada modo de saída é: $|\textrm{Perm}(A)|^2$ , em que as colunas e linhas de $A$ são as primeiras $M$ colunas da matriz unitária do interferômetro $U$ e todas as suas linhas.

Isso faz parecer que para qualquer unitário $U$ , podemos construir o interferômetro apropriado, construir a matriz $A$ e calcular o valor absoluto da permanente de $A$ , tomando a raiz quadrada da probabilidade de detectar um fóton em cada modo (que nós do experimento de amostragem do bóson). Isso é verdade ou há algum problema? As pessoas me disseram que você não pode realmente obter informações sobre uma amostra permanente de bóson.

Além disso, o que acontece com o restante das colunas de $U$ : Como exatamente o resultado experimental depende apenas das primeiras $M$ colunas de $U$ e de todas as suas linhas, mas não das demais colunas de $U$ ? Essas colunas de $U$ não afetam o resultado do experimento nos primeiros modos $M$ ?

— user1271772
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Desde que você criou a fotônica , considere escrever o trecho da tag. Vá aqui . Obrigado.

— Sanchayan Dutta

Respostas:

Parece ser verdade, até certo ponto. Como eu li de Scott Aaronson papel , ele diz que se você começar com um fóton em cada um dos primeiros modos de um interferômetro, e encontrar a probabilidade que um conjunto fótons é emitido em cada modo onde , é $M$ $P_S$ $s_i$ $i\in\{1,\ldots, N\}$ $\sum_is_i=M$ Portanto, de fato, se você tomar uma instância específica em queou 1 para cada saída possível, sim, a probabilidade é igual à permanente de, ondeé a primeiracoluna dee um subconjunto específico delinhas especificadas pelos locais. Portanto, isso não é exatamente o especificado na pergunta: não são todas as linhas, mas apenas alguns subconjuntos, de modo que

P_{s} = \frac{| Per(A) |^{2}}{s_{1}! s_{2}! \dots s_{M}!} .

$P_s=\frac{|\text{Per(A)}|^2}{s_1!s_2!\ldots s_M!}.$

s_{i} = 0

$s_i=0$

A

$A$

A

$A$

M

$M$

U

$U$

M

$M$

s_{i} = 1

$s_i=1$

A

$A$ é uma matriz quadrada, correspondente aos bits que o experimento "vê", ou seja, as linhas de entrada e as linhas de saída. Os fótons nunca preenchem mais nada e, portanto, são cegos para os outros elementos da matriz unitária

U

$U$ .

Isso deve ser bastante óbvio. Digamos que eu tenha algum matriz . Se eu começar em algum estado básico e encontrar o seu produto, , em seguida, sabendo que me diz muito pouco sobre a saídas e , além do que pode ser dito a partir do conhecimento que $3\times 3$ $V$ $|0\rangle$ $V|0\rangle$ $V|1\rangle$ $V|2\rangle$ $V$ é unitário, e, portanto, colunas e linhas são ortonormais.

A questão com a qual devemos ter cuidado é a precisão: você executa isso uma vez e tudo o que obtém é uma amostra única de acordo com a distribuição de probabilidade . Você executa isso algumas vezes e começa a criar informações sobre as diferentes probabilidades. Você executa isso várias vezes e pode obter uma resposta arbitrariamente precisa, mas quantas são suficientes? Existem duas maneiras diferentes de medir o erro em uma estimativa de um valor . Você pode exigir um erro aditivo ou um erro multiplicativo, . Como esperamos que uma probabilidade típica seja exponencialmente pequena em $P_s$ $p$ $p\pm\epsilon$ $p(1\pm\epsilon)$ $n+m$ , o erro multiplicativo exige uma precisão muito maior, que não pode ser alcançada com eficiência por meio de amostragem. Por outro lado, a aproximação do erro aditivo pode ser alcançada.

Enquanto um erro multiplicativo é o que as pessoas geralmente querem calcular, o erro aditivo também pode ser uma entidade interessante. Por exemplo, na avaliação do polinômio de Jones .

Aaronson nos aponta ainda mais no tempo para onde foi feita a conexão entre a amostragem do Bóson e a Permanente:

Ele tem sido conhecido desde o trabalho por Caianiello em 1953 (se não antes) que as amplitudes para processos -boson pode ser escrito como as permanentes de matrizes. $n$ $n\times n$

Em vez disso, sua principal contribuição

é provar uma conexão entre a capacidade dos computadores clássicos de resolver o problema aproximado do BosonSampling e sua capacidade de aproximar o problema permanente

ou seja, entender o problema de aproximação associado a, por exemplo, amostragem finita e descrever as consequências da complexidade computacional associadas: que acreditamos que é difícil avaliar classicamente isso.

— DaftWullie
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Não tenho certeza se é isso que você está dizendo, mas não é verdade que a solução eficiente do BosonSampling permita estimar com eficiência as permanentes, o que implicaria que os computadores quânticos são capazes de resolver problemas difíceis de serem resolvidos. Em outras palavras, os computadores quânticos podem eficientemente simular a saída de um amostrador de Higgs, mas não de forma eficiente calcular sua distribuição de probabilidade de saída

— GLS

@glS Não, é isso que estou dizendo. O artigo de Aaronson é muito cuidadoso ao distinguir essa questão, mas torna a declaração de complexidade computacional muito mais confusa, razão pela qual não a declarei.

— DaftWullie

@DaftWullie desculpe, agora estou confuso. Concordamos que a amostragem de bósons não permite estimar permanentemente eficientemente? (veja, por exemplo, parte inferior da coluna esquerda na página 6 de arxiv.org/pdf/1406.6767.pdf )

— glS:

@gls Concordo que você não pode fazer isso se quiser uma estimativa da permanente com algum erro multiplicativo vinculado, que, é verdade, é a maneira padrão de definir as coisas (mas desde que eu evitei definir qualquer coisa com cuidado ...). Se você estiver disposto a tolerar um erro aditivo vinculado, acredito que possa fazê-lo.

— DaftWullie

"Se eu começar em algum estado base

e encontrar o seu produto,

, em seguida, sabendo que me diz muito pouco sobre a saídas

", mas cada elemento de

está envolvido em dar-lhe

. Mas para amostragem de bósons, apenas as primeiras colunas

estão envolvidas, não é incrível?

| 0 ⟩

$|0\rangle$

V | 0 ⟩

$V|0\rangle$

V | 1 ⟩

$V|1\rangle$

V | 2 ⟩

$V|2\rangle$

V

$V$

V | 0 ⟩

$V|0\rangle$

M

$M$

— user1271772

Você não pode recuperar com eficiência os valores absolutos das amplitudes, mas se você permitir muitas amostras arbitrárias, poderá calculá-las com o grau de precisão que desejar.

Mais especificamente, se o estado de entrada é um único fóton em cada um dos primeiros modos, e se deseja extrair um número arbitrário de amostras da saída, é possível, em princípio, estimar a permanente de em qualquer grau de precisão que se gosta, contando a fração de vezes que os fótons de entrada saem nas primeiras portas de saída diferentes. Deve-se notar, no entanto, que isso realmente não tem muito a ver com o BosonSampling, pois o resultado da dureza se mantém no regime de um número de modos muito maior que o número de fótons, e é sobre a eficiência da amostragem. $n$ $A$ $n$ $n$

BosonSampling

Vou tentar uma breve introdução ao que é a amostragem de bósons, mas deve-se notar que não posso fazer um trabalho melhor nisso do que o próprio Aaronson, por isso é provavelmente uma boa ideia dar uma olhada nas postagens relacionadas do blog dele. (por exemplo, blog /? p = 473 e blog /? p = 1177 ) e links para ele.

BosonSampling é um problema de amostragem . Isso pode ser um pouco confuso, pois as pessoas geralmente estão mais acostumadas a pensar em problemas com respostas definidas. Um problema de amostragem é diferente, pois a solução para o problema é um conjunto de amostras retiradas de alguma distribuição de probabilidade.

De fato, o problema que um amostrador de bósons resolve é o de amostrar a partir de uma distribuição de probabilidade específica. Mais especificamente, a amostragem a partir da distribuição de probabilidade dos possíveis resultados (muitos bósons) afirma.

Considere como um exemplo simples um caso com 2 fótons em 4 modos, e digamos que fixamos o estado de entrada como (isto é, um único fotão em cada um dos dois primeiros dois modos de entrada). Ignorando os estados de saída com mais de um fóton em cada modo, existem $(1,1,0,0)\equiv|1,1,0,0\rangle$ estados possíveis de dois fótons de saída: e $\binom{4}{2}=6$ $(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (0,1,1,0), (0,1,0,1)$ . Vamos denotar por conveniência com o ésimo (portanto, por exemplo, ). Então, uma possível solução para o BosonSampling poderia ser a série de resultados: $(0,0,1,1)$ $o_i, i=1,.,6$ $i$ $o_2=(1,0,1,0)$

o_{1}, o_{4}, o_{2}, o_{2}, o_{5} .

$o_1, o_4, o_2, o_2, o_5.$

Para fazer uma analogia a um caso talvez mais familiar, é como dizer que queremos obter amostras de uma distribuição de probabilidade gaussiana. Isso significa que queremos encontrar uma sequência de números que, se extrairmos um número suficiente deles e os colocarmos em um histograma, produzirá algo próximo a um gaussiano.

Permanentes de computação

Acontece que a amplitude de probabilidade de um dado estado de entrada para um determinado estado de saída é (proporcional a) o permanente de uma matriz adequada construído para fora da matriz unitário caracterizar a evolução (-Higgs único). $|\boldsymbol r\rangle$ $|\boldsymbol s\rangle$

Mais especificamente, se denota a lista de atribuições de modo $\boldsymbol R$ ${}^{(1)}$ $|\boldsymbol r\rangle$ $\boldsymbol S$ $|\boldsymbol s\rangle$ $U$ $\mathcal A(\boldsymbol r\to\boldsymbol s)$ $|\boldsymbol r\rangle$ $|\boldsymbol s\rangle$

A (r \to s) = \frac{1}{\sqrt{r! s!}} perm U [R | S],

$\mathcal A(\boldsymbol r\to\boldsymbol s) = \frac{1}{\sqrt{\boldsymbol r!\boldsymbol s!}} \operatorname{perm} U[\boldsymbol R|\boldsymbol S],$

U [R | S]

$U[\boldsymbol R|\boldsymbol S]$

U

$U$

R

$\boldsymbol R$

S

$\boldsymbol S$

$|\boldsymbol r_0\rangle$ , the probability distribution of the possible outcomes is given by the probabilities

p_{s} = \frac{1}{r_{0}! s!} | perm U [R | S] |^{2} .

$p_{\boldsymbol s} = \frac{1}{\boldsymbol r_0! \boldsymbol s!} \lvert \operatorname{perm}U[\boldsymbol R|\boldsymbol S] \rvert^2.$

BosonSampling is the problem of drawing "points" according to this distribution.

This is not the same as computing the probabilities $p_s$ , or even computing the permanents themselves. Indeed, computing the permanents of complex matrices is hard, and it is not expected even for quantum computers to be able to do it efficiently.

The gist of the matter is that sampling from a probability distribution is in general easier than computing the distribution itself. While a naive way to sample from a distribution is to compute the probabilities (if not already known) and use those to draw the points, there might be smarter ways to do it. A boson sampler is something that is able to draw points according to a specific probability distribution, even though the probabilities making up the distribution itself are not known (or better said, not efficiently computable).

Furthermore, while it may look like the ability to efficiently sample from a distribution should translate into the ability of efficiently estimating the underlying probabilities, this is not the case as soon as there are exponentially many possible outcomes. This is indeed the case of boson sampling with uniformly random unitaries (that is, the original setting of BosonSampling), in which there are $\binom{m}{n}$ possible $n$ -boson in $m$ -modes output states (again, neglecting states with more than one boson in some mode). For $m\gg n$ , this number increases exponentially with $n$ . This means that, in practice, you would need to draw an exponential number of samples to even have a decent chance of seeing a single outcome more than once, let alone estimate with any decent accuracy the probabilities themselves (it is important to note that this is not the core reason for the hardness though, as the exponential number of possible outcomes could be overcome with smarter methods).

In some particular cases, it is possible to efficiently estimate the permanent of matrices using a boson sampling set-up. This will only be feasible if one of the submatrices has a large (i.e. not exponentially small) permanent associated with it, so that the input-output pair associated with it will happen frequently enough for an estimate to be feasible in polynomial time. This is a very atypical situation, and will not arise if you draw unitaries at random. For a trivial example, consider matrices that are very close to identity - the event in which all photons come out in the same modes they came in will correspond to a permanent which can be estimated experimentally. Besides only being feasible for some particular matrices, a careful analysis of the statistical error incurred in evaluating permanents in this way shows that this is not more efficient than known classical algorithms for approximating permanents (technically, within a small additive error) ${}^{(2)}$ .

Columns involved

Let $U$ be the unitary describing the one-boson evolution. Then, basically by definition, the output amplitudes describing the evolution of a single photon entering in the $k$ -th mode are in the $k$ -th column of $U$ .

The unitary describing the evolution of the many-boson states, however, is not actually $U$ , but a bigger unitary, often denoted by $\varphi_n(U)$ , whose elements are computed from permanents of matrices built out of $U$ .

Informally speaking though, if the input state has photons in, say, the first $n$ modes, then naturally only the first $n$ columns of $U$ must be necessary (and sufficient) to describe the evolution, as the other columns will describe the evolution of photons entering in modes that we are not actually using.

(1) This is just another way to describe a many-boson state. Instead of characterizing the state as the list of occupation numbers for each mode (that is, number of bosons in first mode, number in second, etc.), we characterize the states by naming the mode occupied by each boson. So, for example, the state $(1, 0, 1, 0)$ can be equivalently written as $(1, 3)$ , and these are two equivalent ways to say that there is one boson in the first and one boson in the third mode.

(2): S. Aaronson and T. Hance. "Generalizing and Derandomizing Gurvits's Approximation Algorithm for the Permanent". https://eccc.weizmann.ac.il/report/2012/170/

— glS
fonte

I started with 1 photon in each input mode, and said we're looking at the probability of having 1 photon in each output mode, so that we could avoid all these more complicated general equations involving the permanent, which you provide. In fact if

M

$M$ is the number of columns in

U

$U$ , we get that the probability of having 1 photon in each output mode is

| Perm (U) |^{2}

$|\textrm{Perm}(U)|^2$ from which we can easily get

| Perm (U) |

$|\textrm{Perm}(U)|$ . If we let the experiment go on for long enough and get enough samples, can we not obtain an estimate for

| Perm (U) |

$|\textrm{Perm}(U)|$ ?

— user1271772

In no part of the question did I mention "efficiency" or "sub-exponentially". I'm just interested to know whether or not it's possible to estimate

| Perm (U) |

$|\textrm{Perm}(U)|$ using boson sampling.

— user1271772

@user1271772 I see. That's the standard way of talking about these things in this context so I might have automatically assumed you meant to talk about efficiency. If you don't care about the number of samples you have to draw then sure, you can compute the output probability distribution, and therefore the absolute values of the permanents, to whatever accuracy you like

— glS

@gIS, Aram Harrow once told me you cannot calculate Permanents using boson sampling, so I thought there was some "catch". The best classical algorithm for simulation of exact boson sampling is:

O (m 2^{n} + m n^{2})

$\mathcal{O}\left(m2^n + mn^2\right)$ , for

n

$n$ photons in

m

$m$ output modes, what is the cost using the interferometer?

— user1271772

@user1271772 I answered more specifically your first point in the edit. I guess I got confused because the setting you are mentioning does not seem to have really much to do with boson sampling, but is more generally about the dynamics of indistinguishable bosons through an interferometer

— glS