Como mostro que um estado de dois qubit é um estado emaranhado?

O estado de Bell é um estado emaranhado. Mas porque é esse o caso? Como eu provo matematicamente isso?$|\Phi^{+}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle )$

Definição

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Um estado de dois qubit $|\psi\rangle \in \mathbb{C}^4$ é um estado emaranhado se e somente se houver não existem dois estados de um qubit $|a\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle \in \mathbb{C}^2$ e $|b\rangle = \gamma |0\rangle + \lambda |1\rangle \in \mathbb{C}^2$ tal que $|a\rangle \otimes |b\rangle = |\psi\rangle$ , Onde$\otimes$ indica oproduto tensore$\alpha, \beta, \gamma, \lambda \in \mathbb{C}$ .

Então, para mostrar que o estado de Bell $|\Phi^{+}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle )$é um estado emaranhado, nós simplesmente temos que mostrar que não existem dois estados de um qubit$|a\rangle$e$|b\rangle$tal que$|\Phi^{+}\rangle = |a\rangle \otimes |b\rangle$.

Prova

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Suponha que

$$\begin{align} |\Phi^{+}\rangle &= |a\rangle \otimes |b\rangle \\ &= \left( \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle \right) \otimes \left( \gamma |0\rangle + \lambda |1\rangle \right) \end{align}$$

Agora podemos simplesmente aplicar a propriedade distributiva para obter

$$\begin{align} |\Phi^{+}\rangle &= \cdots \\ &= \left( \alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle \right) \end{align}$$

Isso deve ser igual a , isto é, temos de encontrar coeficientesct,β,γeλ, de tal forma que$\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle )$$\alpha$$\beta$$\gamma$$\lambda$

$$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle ) &= \left( \alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle \right) \end{align}$$

Observe que, na expressão , queremos manter tanto | 00 ⟩ e | 11 ⟩ . Portanto, α e γ , que são os coeficientes de | 00 ⟩ , não pode ser zero; em outras palavras, devemos ter α ≠ 0 e γ ≠ 0 . Similarmente,$\alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle$$|00\rangle$$|11\rangle$$\alpha$$\gamma$$|00\rangle$$\alpha \neq 0$$\gamma \neq 0$ e λ , que são os números complexos que se multiplicam | 11 ⟩ não pode ser igual a zero, ou seja, p ≠ 0 e X ≠ 0 . Portanto, todos os números complexos α , β , γ e λ devem ser diferentes de zero.$\beta$$\lambda$$|11\rangle$$\beta \neq 0$$\lambda \neq 0$$\alpha$$\beta$$\gamma$$\lambda$

Mas, para obter o estado de Bell , queremos nos livrar de | 01 ⟩ e | 10 ⟩ . Então, um dos números (ou ambos) multiplicando | 01 ⟩ (e | 10 ⟩ ) na expressão ct y | 00 ⟩ + alfa X | 01 ⟩ + beta Y | 10 ⟩ + beta X | 11 ⟩ , ou seja α e $|\Phi^{+}\rangle$$|01\rangle$$|10\rangle$$|01\rangle$$|10\rangle$$\alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle$$\alpha$$\lambda$(e, respectivamente, e γ ), devem ser iguais a zero. Mas acabamos de ver que α , β , γ e λ devem ser todos diferentes de zero. Portanto, não podemos encontrar uma combinação de números complexos α , β , γ e λ de modo que$\beta$$\gamma$$\alpha$$\beta$$\gamma$$\lambda$$\alpha$$\beta$$\gamma$$\lambda$

$$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle ) &= \left( \alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle \right) \end{align}$$

Em outras palavras, não somos capazes de expressar como um produto tensor de dois estados um qubits. Portanto, | Φ + ⟩ é um estado emaranhado.$|\Phi^{+}\rangle$$|\Phi^{+}\rangle$

Podemos realizar uma prova semelhante para outros estados de Bell ou, em geral, se quisermos provar que um estado está emaranhado.

Um estado puro de dois qudit é separável se, e somente se, puder ser gravado no formato

$$|\Psi\rangle=|\psi\rangle|\phi\rangle$$ para estados qudit individuais arbitrárias $|\psi\rangle$ e $|\phi\rangle$ . Caso contrário, é emaranhado.

Para determinar se o estado puro está emaranhado, pode-se tentar um método de força bruta para tentar encontrar estados satisfatórios $|\psi\rangle$ e $|\phi\rangle$ , como em esta resposta. Isso é deselegante e trabalho duro no caso geral. Uma maneira mais direta de provar se esse estado puro está emaranhado é calcular a matriz de densidade reduzida $\rho$ para um dos qudits, ou seja, traçando o outro. O estado é separável se e somente se $\rho$ tiver a classificação 1. Caso contrário, ele está emaranhado. Matematicamente, você pode testar a condição de classificação simplesmente avaliando $\text{Tr}(\rho^2)$. O estado original é separável se e somente se esse valor for 1. Caso contrário, o estado é emaranhado.

Por exemplo, imagine que um tenha um estado separável puro $|\Psi\rangle=|\psi\rangle|\phi\rangle$ . A matriz de densidade reduzida em $A$ é

$$\rho_A=\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|)=|\psi\rangle\langle\psi|,$$ E $$\text{Tr}(\rho_A^2)=\text{Tr}(|\psi\rangle\langle\psi|\cdot |\psi\rangle\langle\psi|)=\text{Tr}(|\psi\rangle\langle\psi|)=1.$$ Assim, temos um estado separáveis.

Enquanto isso, se tomarmos $|\Psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$, então

$$\rho_A=\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|)=\frac12\left(|0\rangle\langle 0|+|1\rangle\langle 1|\right)=\frac12\mathbb{I}$$ e $$\text{Tr}(\rho_A^2)=\frac14\text{Tr}(\mathbb{I}\cdot\mathbb{I})=\frac12$$ Como esse valor não é 1, temos um estado emaranhado.

Se você deseja saber sobre a detecção de emaranhamento em estados mistos (não estados puros), isso é menos direto, mas para dois qubits há uma condição necessária e suficiente para a separabilidade: positividade na operação de transposição parcial .