Como inserir 2 qubits em 2 portas Hadamard?

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Digamos que temos um circuito com $2$ portas Hadamard:

Vamos dar o estado como entrada. A representação vetorial de estado é , mas este é a representação de qubits e H aceita apenas qbit, de modo que devemos aplicar o primeiro H portão de e a segunda H portão para ? Ou devemos inserir em cada porta H , porque estamos aplicando H $|00\rangle$ $|00\rangle$ $[1 \ 0 \ 0 \ 0]$ $2$ $1$ $[1 \ 0]$ $[0 \ 0]$ $[1 \ 0]$ portões para apenas um qubit de estado cada vez? $|0\rangle$

quantum-gate quantum-state

— Archil Zhvania
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Ou devemos inserir em cada porta H, porque estamos aplicando portas H apenas para qubit de estado cada vez? $[1 \ 0]$ $|0\rangle$

Sim, quando você tem um estado de dois qubit (digamos que você rotule os dois qubits como e respectivamente), é necessário aplicar os dois portões Hadamard separadamente no estado de cada qubit. O estado final será o produto tensorial dos dois estados de qubit único "transformados". $A$ $B$

Se sua entrada for , a saída será simplesmente $|0\rangle_A\otimes|0\rangle_B$

{(\frac{| 0 ⟩ + | 1 ⟩}{\sqrt{2}})}_{A} \otimes {(\frac{| 0 ⟩ + | 1 ⟩}{\sqrt{2}})}_{B}

$\left(\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\right)_A\otimes\left(\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\right)_B$

Alternativa:

Se os dois qubits de entrada estiverem emaranhados , o método acima não funcionará, pois você não poderá representar o estado de entrada como um produto tensorial dos estados dos dois qubits. Então, estou descrevendo um método mais geral aqui.

Quando duas portas estão em paralelo, como no seu caso, você pode considerar o produto tensorial das duas portas e aplicá- lo no vetor de estado de 2 qubit. Você terminará com o mesmo resultado.

$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\\ \end{bmatrix} \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\\ \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}$

\frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 / 2 \\ 1 / 2 \\ 1 / 2 \\ 1 / 2 \end{matrix}]

$\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/2\\1/2\\1/2\\1/2\end{bmatrix}$

{(\frac{| 0 0 ⟩ + | 1 ⟩}{\sqrt{2}})}_{UMA} \otimes {(\frac{| 0 0 ⟩ + | 1 ⟩}{\sqrt{2}})}_{B}

$\left(\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\right)_A\otimes\left(\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\right)_B$

Justificação

Produto tensorial de mapas lineares :

$S : V \to X$ $T : W \to Y$ $S$ $T$ $(S\otimes T)(v\otimes w) = S(v) \otimes T(w)$ $(S\otimes T)(v\otimes w) = S(v) \otimes T(w)$

(H | 0 ⟩_{A}) \otimes (H | 0 ⟩_{B}) = (H \otimes H) (| 0 ⟩_{A} \otimes | 0 ⟩_{B})

$(\mathbf H|0\rangle_A) \otimes (\mathbf H|0\rangle_B) = (\mathbf H\otimes \mathbf H)(|0\rangle_A \otimes |0\rangle_B)$

— Sanchayan Dutta
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$|0\rangle$ $\frac{1}{\sqrt{2}} \left (|0\rangle + |1\rangle \right)$

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 0 ⟩ + | 1 ⟩) \otimes \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 0 ⟩ + | 1 ⟩) & = \frac{1}{2} (| 00 ⟩ + | 01 ⟩ + | 10 ⟩ + | 11 ⟩) \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{2}} \left (|0\rangle + |1\rangle \right) \otimes \frac{1}{\sqrt{2}} \left (|0\rangle + |1\rangle \right) &= \frac{1}{2} \left( |00\rangle + |01\rangle + |10\rangle + |11\rangle\right) \end{align}$

Podemos facilmente verificar se esse é um estado quântico válido verificando a condição de normalização.

\begin{aligned} {| \frac{1}{2} |}^{2} + {| \frac{1}{2} |}^{2} + {| \frac{1}{2} |}^{2} + {| \frac{1}{2} |}^{2} & = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \\ = 1 \end{aligned}

$\begin{align} \left| \frac{1}{2} \right|^2 + \left| \frac{1}{2} \right|^2 + \left| \frac{1}{2} \right|^2 + \left| \frac{1}{2} \right|^2 &= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \\ &= 1 \end{align}$

Em geral, nesse contexto, é mais intuitivo se você usar a notação de braquete do Dirac (ou seja, usar $|00 \rangle$ em vez do vetor da coluna $(1, 0, 0, 0)^T$ ) Então, se você precisar aplicar um gate a um subconjunto dos qubits, poderá proceder de maneira análoga à anterior.

— nbro
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