Por que (quase) todo par de hamiltonianos gera, através de comutação repetida, todo o espaço das matrizes hermitianas?

Em [1], o problema de simular um hamiltoniano usando aplicações repetidas de um conjunto diferente de hamiltonianos é discutido.

Em particular, sejam e um par de operadores hermitianos e seja a álgebra gerada a partir de através de comutação repetida . $A$ $B$ $\mathcal L$ $A, B$ $^{\mathbf{(\dagger)}}$

O autor então pergunta (primeiro parágrafo do terceiro página) que é para um par arbitrário de observáveis e , e argumenta que é o espaço de todas as matrizes hermitianas, a menos que (citando o papel) tanto e mentira num -dimensional representação unitária de algum outro grupo de Lie de . $\mathcal L$ $A$ $B$ $\mathcal L$ $e^{iA t}$ $e^{iB t}$ $n$ $U(n)$

Eu não estou muito familiarizado com a teoria das álgebras de Lie, então essa afirmação é bastante enigmática para mim. Como isso pode ser mostrado mais explicitamente? Equivalentemente, existe uma maneira mais direta de mostrar esse fato?

: Mais explicitamente, este é o espaço vectorial gerado por $(\dagger)$ $A, B, i[A,B], [A,[A,B]], ...$

[1] Lloyd 1995, quase qualquer porta lógica quântica é universal , link para PRL .

simulation

— glS
fonte

Para quem gosta mais de álgebras de Lie: você pode simplesmente pegar esses dois símbolos A, B e criar a álgebra de Lie livre

. Portanto, não há relações no

além daquelas que garantem que ainda seja uma álgebra de Lie. Seja

a representação que desce para as matrizes reais (então

é o que você está chamando de A acima). A partir daqui, existem alguns teoremas muito poderosos sob o nome de Kashiwara-Vergne . Isso é útil para entender a fórmula longa de Baker-Campbell-Hausdorff (fórmula mais forte que a Trotter).

F r e e_{2}

$Free_2$

†

$\dagger$

ρ

$\rho$

ρ (A)

$\rho (A)$

— AHusain

@ Ah, que parece algo digno de ser uma resposta (que não é facilmente compreensível por mim, mas ainda assim ..)!

— GLS

Eu não estou muito familiarizado com a teoria das álgebras de Lie, então essa afirmação é bastante enigmática para mim. Como isso pode ser mostrado mais explicitamente? Equivalentemente, existe uma maneira mais direta de mostrar esse fato?

Por volta da mesma época, David Deutsch et al . provou o mesmo neste artigo: Universalidade em Computação Quântica (1995) , mas sem nunca usar a palavra "álgebra" ou "Mentira" em todo o artigo. A prova começa na página 3 e o ponto principal está na Eq. 9, que é a mesma equação que aparece no artigo de Seth Lloyd, mas aqui é explicada sem referência às "Álgebras de Lie". Eq. 9 é uma aplicação do que em física costumamos chamar de " divisão do trotador ". Ele foi escrito quase 100 anos antes por Sophus Lie, mas você não precisa saber nada sobre álgebras de Lie ou mesmo espaços vetoriais para aplicar a fórmula, como na Eq. 9

— user1271772
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De nada :) Espero que ajude!

— user1271772

Por que isso responderia à pergunta? No artigo, H1 e H2 estão relacionados (por uma troca), portanto, eles parecem exatamente NÃO independentes, conforme solicitado na pergunta!

— Norbert Schuch