Qual é a relação entre o portão de Toffoli e a caixa de Popescu-Rohrlich?

fundo

O portão Toffoli é um portão lógico clássico de 3 entradas e 3 saídas. Envia para ( x , y , a ⊕ ( x ⋅ y ) ) . É significativo, pois é universal para computação reversível (clássica).$(x, y, a)$$(x, y, a \oplus (x \cdot y))$

A caixa Popescu-Rohrlich é o exemplo mais simples de uma correlação sem sinalização. É necessário um par de entradas e saídas ( a , b ) satisfazendo x ⋅ y = a ⊕ b de modo que a e b sejam variáveis ​​aleatórias uniformes. É universal para uma certa classe de ( mas não todas ) correlações sem sinalização.$(x, y)$$(a, b)$$x \cdot y = a \oplus b$$a$$b$

A meu ver, esses dois objetos parecem extremamente semelhantes, especialmente se aumentarmos a caixa de RP com a saída . Esta caixa PR de 2 entradas e 4 saídas "é" a porta Toffoli de 3 entradas e 3 saídas, mas com a terceira entrada substituída por uma saída aleatória. Mas não consegui localizar nenhuma referência que os relacionasse.$(x, y, a, b) = (x, y, a, a \oplus (x \cdot y))$

Questão

Qual é a relação entre o portão de Toffoli e a caixa de Popescu-Rohrlich? Existe algo como uma correspondência entre circuitos clássicos reversíveis e (uma certa classe de?) Correlações sem sinalização que mapeiam um para o outro?

Observações

1. $x$$x$

2. $x$$(a, x \cdot a)$$a$$x \cdot a$$0$$x = 0$$x$$x \cdot a$. Mas esse procedimento já pode ser reproduzido classicamente com uma fonte compartilhada de aleatoriedade. Então, eu esperaria que a inclusão de portões irreversíveis não expanda a classe de correlações sem sinalização que podemos construir.

Uma maneira natural de relacionar os portões de Toffoli e as caixas de relações públicas é vê-los como representações da função AND de duas entradas binárias, mas de maneiras diferentes. A conexão com a função AND é evidente e claramente reconhecida pela pergunta, mas eu a expressaria de uma maneira um pouco diferente:

1. $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$$|x,a\rangle \mapsto |x,a\oplus f(x)\rangle$

2. A caixa PR pode ser vista como uma forma distribuída da função AND. A saída de uma caixa PR na entrada pode ser expressa como ( AND ( x , y ) ⊕ a , a ) ou equivalente como$(x,y)$$(\text{AND}(x,y)\oplus a, a)$$(a,\text{AND}(x,y)\oplus a)$$a\in\{0,1\}$é um bit aleatório gerado uniformemente. A saída da caixa PR é, portanto, um par de bits aleatórios perfeitamente correlacionado ou perfeitamente anti-correlacionado, dependendo se o AND das entradas é 0 ou 1, respectivamente. Isso é interessante porque Alice e Bob sabem coletivamente a saída da função AND (que eles podem obter calculando o XOR de seus bits de saída), enquanto individualmente eles não têm informações sobre esse valor.

A idéia de que a caixa de RP efetivamente calcula a função AND dessa maneira distribuída é uma idéia-chave na prova de Wim van Dam de que a complexidade da comunicação se torna trivial na presença de caixas de RP:

Wim van Dam. Consequências implausíveis da não-localidade super forte. Natural Computing 12 (1): 9-12, 2013.