Implementando um portão CCCNOT usando apenas portões Toffoli

Uma porta CCCNOT é uma porta reversível de quatro bits que inverte seu quarto bit se e somente se os três primeiros bits estiverem no estado .$1$

Como eu implementaria um portão CCCNOT usando os portões de Toffoli? Suponha que os bits na área de trabalho iniciem com um valor específico, 0 ou 1, desde que você os retorne a esse valor.

Eu acho que o que você está procurando é o seguinte circuito. Aqui, $b_1,b_2,b_3,b_4 \in \{0,1\}$ e $\oplus$ é o módulo de adição $2$ .

Aqui, o qubit qubit é usado como um qubit auxiliar ou ancilla . Começa às $|0\rangle$ e termina em $|0\rangle$ quando o circuito é aplicado.

Deixe-me explicar como esse circuito funciona. A idéia é verificar primeiro se os dois primeiros qubits estão no estado $|1\rangle$ . Isso pode ser feito usando uma única porta Toffoli, e o resultado é armazenado no qubit auxiliar. Agora, o problema reduz-se ao lançamento do qubit $4$ , sempre que o qubits $3$ e o qubit auxiliar estiverem em $|1\rangle$ . Isso também pode ser alcançado usando uma aplicação de um portão de Toffoli, ou seja, o do meio no circuito mostrado acima. Finalmente, o último portão de Toffoli serve para não calcular o resultado temporário que armazenamos no qubit auxiliar, de modo que o estado desse qubit retorne a $|0\rangle$ após o circuito ser aplicado.

---

Na seção de comentários, surgiu a questão de saber se é possível implementar esse circuito usando apenas portas Toffoli, sem o uso de qubits auxiliares. Esta pergunta pode ser respondida de forma negativa, como mostrarei aqui.

Queremos implementar a $\mathrm{CCCNOT}$ -gate, que atua em quatro qubits. Podemos definir a seguinte matriz (matriz a representação da Pauli- $X$ -gate):

$$X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$ Além disso, nós denotar a $N$ matriz identidade -dimensional por $I_N$ . Agora, observa-se que a representação da matriz da $\mathrm{CCCNOT}$ -gate, agindo em quatro qubits, é dada pela seguinte $16 \times 16$ matriz: $$\mathrm{CCCNOT} = \begin{bmatrix} I_{14} & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix}$$ Assim, pode-se determinar o seu determinante: $$\det(\mathrm{CCCNOT}) = -1$$ Considere agora a representação da matriz da porta Toffoli, agindo sobre as três primeiras qubits de um$4$ sistema de qubit. A sua representação matricial é escrito como (onde foi utilizado o produto de Kronecker de matrizes): $$\mathrm{Toffoli} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_6 & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{12} & 0 \\ 0 & X \otimes I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_{12} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_2 \\ 0 & I_2 & 0 \end{bmatrix}$$ Calculando os seus rendimentos determinantes: $$\det(\mathrm{Toffoli} \otimes I_2) = 1$$ Os portões de Toffoli também podem atuar em diferentes qubits, é claro. Suponha que deixemos o portão de Toffoli agir no primeiro, segundo e quarto qubit, onde o quarto qubit é o qubit alvo. Em seguida, obtemos a nova representação matricial da exibida acima, trocando as colunas correspondentes aos estados que diferem apenas no terceiro e quarto qubit, ou seja, $|0001\rangle$ com $|0010\rangle$ , $|0101\rangle$ com $|0110\rangle$ , etc. O importante a notar aqui, é que o número de swaps de colunas é ainda, e, portanto, que o determinante permanece inalterado. Como podemos escrever toda permutação de qubits como uma sequência de permutações consecutivas de apenas$2$ qubits (isto é,$S_4$ é gerado pelas transposições em$S_4$ ), descobrimos que, para todos os portões de Toffoli, aplicados a qualquer combinação de controle e qubits alvo, sua representação matricial é determinante$1$ .

A última coisa a notar é que o determinante comuta com multiplicação de matrizes, ou seja, $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ , para quaisquer duas matrizes $A$ e $B$ compatíveis com a multiplicação de matrizes. Assim, torna-se agora evidente que a aplicação de múltiplas portas Toffoli em sequência não cria um circuito cuja representação matriz tem um diferente determinante de $1$ , que em particular implica que o $\mathrm{CCCNOT}$ -gate não pode ser implementado utilizando apenas portas Toffoli sobre $4$ qubits.

A questão óbvia, agora, é o que muda quando permitimos um qubit auxiliar. Encontramos a resposta quando escrevemos a ação do $\mathrm{CCCNOT}$ -gate em um $5$ sistema -qubit:

$$\mathrm{CCCNOT} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{14} & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{28} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_2 \\ 0 & I_2 & 0 \end{bmatrix}$$ Se calcularmos esse determinante, encontramos: $$\det(\mathrm{CCCNOT} \otimes I_2) = 1$$ Assim, o determinante da$\mathrm{CCCNOT}$ agir -gate em$5$ qubits é$1$ , em vez de$-1$ . É por isso que o argumento anterior não é válido para$5$ qubits, como já sabíamos por causa do circuito explicitamente construído que o OP solicitava.