Os estados do gráfico qudit estão bem definidos para dimensão não primária?

Os estados do gráfico Qudit são generalizações em dimensão dos estados do gráfico qubit, de modo que cada estado é representado por um gráfico ponderado (sem auto-loops), de modo que cada borda recebe um peso A_ {i, j} = 0, \ ldots, d-1 . O estado do gráfico associado a G é então dado por | G⟩ = \ prod_ {i> j} \ textrm {CZ} _ {i, j} ^ {A_ {i, j}} | +⟩ ^ {\ otimes n} , onde | +⟩ = F ^ \ punhal | 0⟩ e F é o portão de Fourier F = \ frac {1} {\ sqrt {d}} \ sum_ {k = 0} ^ {d-1} \ omega ^ { kl} | k⟩⟨l |. G ( i , j ) A i , j = 0 , … , d - 1 G | G ⟩ = Π i > j CZ A i , j i , j | + ⟩ ⊗ n , | + ⟩ = F † | 0 ⟩ F F = $d$$G$$(i, j)$$A_{i, j} = 0,\ldots,d-1$$G$

$$|G⟩ = \prod_{i>j} \textrm{CZ}_{i,j}^{A_{i,j}} |+⟩^{\otimes n},$$ $|+⟩ = F^\dagger|0⟩$$F$ $$F = \frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{k=0}^{d-1} \omega^{kl}|k⟩⟨l|.$$

Na literatura sobre estados de gráfico qudit, não parece haver consistência quanto à definição de tais estados apenas para $d$ prime ou não. Por exemplo, algumas fontes fornecem apenas a definição acima para $d$ prime, como

• Compartilhamento secreto quântico com estados gráficos qudit
• Estados do gráfico de Qudit absolutamente emaranhados

considerando que alguns não especificam essa restrição, como

• Paradoxos de Greenberger-Horne-Zeilinger dos estados gráficos Qudit
• Códigos de correção de erros quânticos usando estados de gráfico qudit

Então, o que está correto? Os estados do gráfico qudit (bem-) são definidos quando a dimensão não é primária?

Além disso, se sim, eles são definidos exclusivamente?

A definição que você fornece para um estado gráfico, e em particular a transformada quântica de Fourier e o operador controlado - onde consideramos a generalização unitária do operador Pauli , satisfazendo para a operação de permutação turn-by-one - são todos bem definidos, mesmo na dimensão composta. A transformação de Fourier é certamente uma operação de interesse para definição arbitrária; a operação controlada ainda é diagonal e unitária e ainda possui as conexões relevantes para como tensor; não há nada nos próprios objetos matemáticos que se tornem problemáticos na dimensão composta.$F$$Z$$Z$$Z$$Z = F XF^\dagger$$X$$Z$$F$

A razão pela qual você vê tanta ênfase na dimensão principal é essencialmente que os qudits de dimensão composta são inconvenientes para analisar. As razões para isso surgem da teoria dos números: particularmente no fato de que na dimensão composta é preciso se preocupar com zero divisores. Francamente, não há muitos no campo que se consideram teóricos dos números, e pouquíssimos pesquisadores (entre os autores ou os leitores de artigos) têm muita paciência para sistemas numéricos que não são campos, como os exemplos bem-amados de , , e, é claro, os números inteiros modulo a primo ,$\mathbb C$$\mathbb R$$\mathbb Q$$p$$\mathbb Z_p$. Por esse motivo, você raramente verá referências a qudits de dimensão composta em qualquer lugar do campo. Mesmo quando o faz, a principal preocupação da conveniência matemática normalmente motivará outras restrições.

A teoria da informação quântica pode ocasionalmente fazer uso da teoria dos números e da matemática pura em geral, mas não se engane: esse campo não tem muita sobreposição com as prioridades da matemática pura. Se uma definição foi apresentada de uma maneira que parece estranhamente restrita, é razoavelmente provável que seja porque permite mostrar um resultado que seria muito mais desafiador, ou até um pouco mais complicado, provar sem essa restrição - e é considerado mais importante divulgar exemplos de resultados surpreendentes do que apresentar teorias matemáticas razoavelmente completas.