Como provar / refutar a universalidade para um conjunto de portas?

Um conjunto universal de portas é capaz de imitar a operação de qualquer outro tipo de porta, considerando portas suficientes. Por exemplo, um conjunto universal de portas quânticas são o Hadamard (   ), o deslocamento de fase (   ) e a porta . Como alguém refutaria ou provaria a universalidade de um conjunto de portas como , ou ?$H$$\pi/8$$T$$\mathrm{CNOT}$$\{H,T\}$$\{\mathrm{CNOT},T\}$$\{\mathrm{CNOT}, H\}$

A universalidade pode ser uma coisa muito sutil, o que é bastante difícil de provar. Geralmente, existem duas opções para provar isso:

• mostre diretamente, usando os portões escolhidos, como construir qualquer unidade arbitrária de tamanho arbitrário (não há restrição no tamanho da construção, apenas que isso pode ser feito) com precisão arbitrária (em algum subespaço não trivial da Hilbert completa espaço).

• mostre como o conjunto de portas escolhido pode ser usado para recriar (com precisão arbitrária) um conjunto universal existente.

Por outro lado, se você deseja refutá-lo, mostra que o efeito do seu conjunto de portas sempre pode ser simulado por um modelo de computação menor (presumido) menor, geralmente computação clássica.

Existem algumas heurísticas que você pode usar para orientação:

• você deve ter um portão multi-qubit no seu aparelho. Se tudo o que você tem são portas de um qubit, você pode simular cada qubit independentemente em um computador clássico. Portanto, se acreditamos que os computadores quânticos são mais poderosos do que os clássicos, os portões de um qubit único não são universais para a computação quântica. Isso exclui {H, T}.

• você deve ter um portão que crie superposições. Isso exclui {CNOT, T}. Novamente, este é um cálculo clássico com a adição de uma fase global irrelevante.

Obviamente, essas não são condições suficientes: o conjunto {H, S, CNOT} também pode ser simulado com eficiência (consulte o teorema de Gottesman-Knill). Isso também deve ser verdadeiro para {H, CNOT}, pois eles são um subconjunto e, portanto, as operações que eles podem criar não são mais do que as do conjunto original.

Um dos conjuntos universais que eu acho mais interessante é {Toffoli, H} . Sempre me parece surpreendente que isso seja suficiente (especialmente quando você se compara ao conjunto anterior). Observe que ele não envolve números complexos.

Também é possível obter universalidade a partir de um único portão de dois qubit , como

$$\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right)$$

Nielsen e Chuang, página 191 da edição do 10º aniversário:

$d$$n$$n$

A primeira frase existe um resultado aceito, portanto, você deve simplesmente mostrar que a combinação do seu conjunto de portas pode implementar "uma operação unitária arbitrária em dois níveis". Para citar a Wikipedia:

Tecnicamente, isso é impossível, uma vez que o número de possíveis portas quânticas é incontável, enquanto o número de seqüências finitas de um conjunto finito é contável. Para resolver esse problema, exigimos apenas que qualquer operação quântica possa ser aproximada por uma sequência de portas desse conjunto finito.

Veja também este documento .