Por que o mecanismo “Phase Kickback” funciona no algoritmo de estimativa de fase quântica?

Provavelmente já li o capítulo A transformação quântica de Fourier e suas aplicações da Nielsen e Chuang (edição do 10º aniversário) algumas vezes antes e isso levou isso como garantido, mas hoje, quando olhei para ela novamente, não não me parece óbvio!

Aqui está o diagrama do circuito para o algoritmo de estimativa de fase:

O primeiro registro com qubits é supostamente o "registro de controle". Se algum dos qubit no primeiro registro estiver no estado | 1 ⟩ o portão unitária controlada correspondente é aplicada para o segundo registador . Se estiver em um estado | 0 ⟩ então não são aplicadas ao segundo registo . Se estiver em uma superposição dos dois estados | 0 ⟩ e$t$$|1\rangle$$|0\rangle$$|0\rangle$$|1\rangle$a ação da unidade correspondente no segundo registro pode ser determinada por "linearidade". Observe que todos os portões estão agindo apenas no segundo registro e nenhum no primeiro registro. O primeiro registro deve ser apenas um controle .

No entanto, eles mostram que o estado final do primeiro registro como:

$$\frac{1}{2^{t/2}}\left(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-1}\varphi)|1\rangle)(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-2}\varphi)|1\rangle)...(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{0}\varphi)|1\rangle\right)$$

Estou surpreso com o motivo pelo qual consideramos que existe uma mudança no estado do primeiro registro de qubits, depois da ação dos portões de Hadamard. O estado final do primeiro registro deveria ter sido apenas

$$\left(\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt 2}\right)^{\otimes t}$$

não é? Digo isso porque o primeiro registro deve ser apenas um controle. Não entendo como ou por que o estado do primeiro registro deve mudar ao atuar como controle.

Inicialmente, pensei que considerar os fatores exponenciais como parte dos primeiros estados de qubit do registro era apenas uma conveniência matemática, mas não fazia sentido. O estado de um qubit ou um sistema de qubits não deve depender do que é matematicamente conveniente para nós!

Então, alguém poderia explicar por que exatamente o estado do primeiro registro de qubits muda, mesmo quando ele simplesmente atua como um "controle" para o segundo registro? É apenas uma conveniência matemática ou há algo mais profundo?

Imagine que você tem um vetor próprio de U . Se você tiver um estado como | 1 ⟩ | u ⟩ e você aplicar controlada U a ele, você sair e i & Phi; | 1 ⟩ | u ⟩ . A fase não está anexada a um registro específico, é apenas um fator multiplicativo geral.$|u\rangle$$U$$|1\rangle|u\rangle$$U$$e^{i\phi}|1\rangle|u\rangle$

Agora vamos usar uma superposição no primeiro registo: Você pode reescrever isso como ( | 0 ⟩ + e i & Phi; | 1 ⟩ ) | u

$$(|0\rangle+|1\rangle)|u\rangle\mapsto |0\rangle|u\rangle+e^{i\phi}|1\rangle|u\rangle$$ $$(|0\rangle+e^{i\phi}|1\rangle)|u\rangle$$ para que apareça no primeiro registro, mesmo que tenha sido criado no segundo registro. (É claro que essa interpretação não é totalmente verdadeira porque foi criada por um gate de dois qubit atuando nos dois qubits).

Esta etapa está no centro de muitos algoritmos quânticos.

Por que não escrevemos e apenas afirmam que não é separável?$|\Psi\rangle=|0\rangle|u\rangle+|1\rangle(e^{i\phi}|u\rangle)$

Não se pode apenas reivindicá-lo, mas deve mostrá-lo matematicamente. Por exemplo, podemos tomar o caminho parcial através da segunda qbit, Para pegar o rastreio parcial, escolhemos uma base para somar. Para simplificar, vamos escolher { | u ⟩ , | u ⊥ ⟩ } onde ⟨ u | u ⊥ ⟩ =

$$\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|_{AB})=\text{Tr}_B(|0\rangle\langle 0|\otimes |u\rangle\langle u|+|1\rangle\langle 0|\otimes e^{i\phi}|u\rangle\langle u|+|0\rangle\langle 1|\otimes |u\rangle\langle u|e^{-i\phi}+|1\rangle\langle 1|\otimes e^{i\phi}|u\rangle\langle u|e^{-i\phi})$$ $\{|u\rangle,|u^\perp\rangle\}$$\langle u|u^\perp\rangle=0$e . Então você começa Tr B ( | vF ⟩ ⟨ vF | A B ) = | 0 ⟩ ⟨ 0 | + e i φ | 1 ⟩ ⟨ 1 | + e - i φ | 0 ⟩ ⟨ 1 | + | 1 $\langle u|(e^{i\phi}|u\rangle=e^{i\phi}$ Esta é a classificação 1 (e você pode ver que a fase apareceu no primeiro registro), para que o estado não fique emaranhado. É separável. $$\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|_{AB})=|0\rangle\langle 0|+e^{i\phi}|1\rangle\langle 1|+e^{-i\phi}|0\rangle\langle 1|+|1\rangle\langle 1|$$

Uma primeira observação

Esse mesmo fenômeno de qubits de 'controle' que muda de estado em algumas circunstâncias também ocorre com portas NÃO controladas; de fato, esta é toda a base da estimativa de autovalores. Portanto, não é apenas possível, é um fato importante sobre a computação quântica que é possível. Ele ainda tem um nome: um "chute de fase", no qual os qubits de controle (ou mais geralmente, um registro de controle) incorrem em fases relativas como resultado de agir através de alguma operação em algum registro de destino.$\def\ket#1{\lvert#1\rangle}$

A razão pela qual isso acontece

Por que deveria ser esse o caso? Basicamente, tudo se resume ao fato de que a base padrão não é realmente tão importante quanto às vezes a descrevemos como sendo.

Versão curta. Somente os estados base padrão nos qubits de controle não são afetados. Se o qubit de controle estiver em um estado que não é um estado base padrão, ele poderá, em princípio, ser alterado.

Versão mais longa -

Considere a esfera de Bloch. É, no final, uma esfera - perfeitamente simétrica, com nenhum ponto sendo mais especial que outro, e nenhum eixo mais especial que outro. Em particular, a base padrão não é particularmente especial.

$$\ket{00} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{01} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{10} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{11} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}}$$ $$\mathrm{CNOT} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}}\,.$$

$\{0,1\}$

$\{0,1\}$

$$\begin{aligned} \ket{++} \to{}& [\, 1 \;\; 0 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger\,, \\ \ket{+-} \to{}& [\, 0 \;\; 1 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger\,, \\ \ket{-+} \to{}& [\, 0 \;\; 0 \;\; 1 \;\; 0 \,]^\dagger\,, \\ \ket{--} \to{}& [\, 0 \;\; 0 \;\; 0 \;\; 1 \,]^\dagger \,. \end{aligned}$$ $$\ket{00} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{01} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{10} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{11} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}}\,.$$

$H \otimes H$$\ket{++} = [\, 1 \;\; 0 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger$$\ket{+-} = [\, 0 \;\; 1 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger$$X$$Z$

$$\begin{aligned} \mathrm{CNOT} \to \tfrac{1}{4}{}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \,\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\, \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} }\, = \,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}} \end{aligned}$$ $X$ $$\begin{aligned} \mathrm{CNOT}\,\ket{++} &= \ket{++} , \\ \mathrm{CNOT}\,\ket{+-} &= \ket{--}, \\ \mathrm{CNOT}\,\ket{-+} &= \ket{-+} , \\ \mathrm{CNOT}\,\ket{--} &= \ket{+-} . \end{aligned}$$

Agora, eu poderia ter mostrado esse mesmo fato muito mais rapidamente sem toda essa conversa sobre mudanças no quadro de referência. Nos cursos introdutórios de computação quântica em ciência da computação, um fenômeno semelhante pode ser descrito sem nunca mencionar as palavras "quadro de referência". Mas eu queria lhe dar mais do que um mero cálculo. Eu queria chamar a atenção para o fato de que um CNOT não é, em princípio, apenas uma matriz; que a base padrão não é uma base especial; e que quando você tira essas coisas, fica claro que a operação realizada pelo CNOT claramente tem o potencial de afetar o estado do qubit de controle, mesmo que o CNOT seja a única coisa que você está fazendo nos seus qubits.

A própria idéia de que existe um qubit de 'controle' é centrada na base padrão e incorpora um preconceito sobre os estados dos qubits que nos convida a pensar na operação como unilateral. Mas, como físico, você deve suspeitar profundamente de operações unilaterais. Para toda ação, há uma reação igual e oposta ; e aqui a aparente unilateralidade do CNOT em estados de base padrão é desmentida pelo fato de que, para os estados X eigenbasis, é o 'alvo' que determina unilateralmente uma possível mudança de estado do 'controle'.

Você se perguntou se havia algo em jogo que era apenas uma conveniência matemática, envolvendo uma escolha de notação. De fato, existe: a maneira pela qual escrevemos nossos estados com ênfase na base padrão, o que pode levar você a desenvolver uma intuição não matemática da operação apenas em termos da base padrão. Mas mude a representação e essa intuição não matemática desaparece.

A mesma coisa que eu esbocei para o efeito do CNOT nos estados de X-eigenbasis, também está ocorrendo na estimativa de fase, apenas com uma transformação diferente da CNOT. A 'fase' armazenada no qubit 'alvo' é chutada para o qubit 'controle', porque o alvo está em um estado próprio de uma operação que está sendo coerentemente controlada pelo primeiro qubit. Do lado da ciência da computação da computação quântica, é um dos fenômenos mais celebrados no campo. Isso nos força a confrontar o fato de que a base padrão é apenas especial, pois é com a qual preferimos descrever nossos dados - mas não no modo como a própria física se comporta.

Ótima pergunta.
Uma vez eu perguntei isso também, mas não é apenas uma questão de conveniência matemática.
O U controlado é um portão "emaranhado".
Quando houver emaranhamento, você não poderá separar o estado em "primeiro registro" e "segundo registro".
Pense apenas nesses registros separadamente no início, ou quando não houver emaranhamento. Depois de haver emaranhamento, sua melhor aposta é trabalhar com a matemática (multiplicações de matrizes) minuciosamente, e você realmente obterá o estado dado por Nielsen e Chuang.