Se a aceleração quântica é devida à natureza ondulatória da mecânica quântica, por que não usar ondas regulares?

A intuição que tenho de por que a computação quântica pode ter um desempenho melhor do que a computação clássica é que a natureza ondulatória das funções de onda permite interferir em vários estados de informação com uma única operação, o que teoricamente poderia permitir uma aceleração exponencial.

Mas se realmente é apenas uma interferência construtiva de estados complicados, por que não realizar essa interferência com ondas clássicas?

E, nesse caso, se a figura de mérito é simplesmente a quantidade de etapas em que algo pode ser calculado, por que não começar com um sistema dinâmico complicado que possui a computação desejada incorporada? (ou seja, por que não criar apenas "simuladores analógicos" para problemas específicos?)

Sua principal afirmação de que a matemática das ondas imita a da mecânica quântica é a correta. De fato, muitos dos pioneiros da QM costumavam se referir a ela como mecânica de ondas por esse motivo preciso. Então é natural perguntar: "Por que não podemos fazer computação quântica com ondas?".

A resposta curta é que a mecânica quântica nos permite trabalhar com um espaço Hilbert exponencialmente grande, gastando apenas recursos polinomiais. Ou seja, o espaço de estado de qubits é um espaço dimensional Hilbert.2 $n$$2^n$

Não se pode construir um espaço Hilbert exponencialmente grande a partir de muitos recursos clássicos polinomialmente. Para entender por que esse é o caso, vejamos dois tipos diferentes de computadores baseados em mecânica de ondas.

A primeira maneira de construir um computador assim seria pegar número de sistemas clássicos de dois níveis. Cada sistema então por si só poderia ser representado por um espaço 2D Hilbert. Por exemplo, pode-se imaginar cordas de guitarra com apenas os dois primeiros harmônicos excitados.$n$$n$

Essa configuração não será capaz de imitar a computação quântica porque não há emaranhamento. Assim, qualquer estado do sistema será um estado do produto e do sistema combinado de cordas da guitarra não pode ser usado para fazer uma dimensional espaço de Hilbert.2 $n$$2^n$

A segunda maneira de tentar construir um espaço Hilbert exponencialmente grande é usar uma única picada de guitarra e identificar seus primeiros harmônicos com os vetores básicos do espaço Hilbert. Isso é feito na resposta de @DaftWullie. O problema com essa abordagem é que a frequência da harmônica mais alta precisa ser excitada para que isso aconteça será escalada como . E como a energia de uma corda vibratória escala quadraticamente com sua frequência, precisaremos de uma quantidade exponencial de energia para excitar a corda. Portanto, na pior das hipóteses, o custo de energia da computação pode escalar exponencialmente com o tamanho do problema. O ( 2 n$2^n$$O(2^n)$

Portanto, o ponto principal aqui é que os sistemas clássicos não possuem emaranhamento entre partes fisicamente separáveis. E sem emaranhamento, não podemos construir espaços Hilbert exponencialmente grandes com sobrecarga polinomial.

Eu próprio frequentemente descrevo a fonte do poder da mecânica quântica como sendo devida a "interferências destrutivas", ou seja, a natureza ondulatória da mecânica quântica. Do ponto de vista da complexidade computacional, fica claro que esse é um dos recursos mais importantes e interessantes da computação quântica, como observa Scott Aronson (por exemplo) . Mas quando o descrevemos desta maneira muito breve - que "o poder da computação quântica está na interferência destrutiva / a natureza ondulatória da mecânica quântica" - é importante notar que esse tipo de afirmação é abreviada e necessariamente incompleto.

Sempre que você faz uma declaração sobre "o poder" ou "a vantagem" de alguma coisa, é importante ter em mente: em comparação com o que ? Nesse caso, o que estamos comparando é especificamente a computação probabilística: e o que temos em mente não é apenas que 'algo' esteja agindo como uma onda, mas especificamente que algo que de outra forma é uma probabilidade está agindo como uma onda.

Deve-se dizer que a própria probabilidade, no mundo clássico, já age um pouco como uma onda: especificamente, ela obedece a uma espécie de Princípio de Huygen (que você pode entender a propagação de probabilidades de coisas, resumindo as contribuições de indivíduos iniciais. condições - ou seja, por um princípio de superposição ). A diferença, é claro, é que a probabilidade não é negativa e, portanto, só pode se acumular, e sua evolução será essencialmente uma forma de difusão. A computação quântica consegue exibir um comportamento de onda com amplitudes de probabilidade, que podem não ser positivas; e assim é possível ver interferência destrutiva dessas amplitudes.

Em particular, como as coisas que agem como ondas são probabilidades, o 'espaço de frequência' em que o sistema evolui pode ser exponencial no número de partículas que você envolve no cálculo. Esse tipo geral de fenômeno é necessário se você deseja obter uma vantagem sobre a computação convencional: se o espaço de frequência escalasse polinomialmente com o número de sistemas e a própria evolução obedecesse a uma equação de onda, os obstáculos à simulação com computadores clássicos seriam mais fáceis de serem enfrentados. superar. Se você quiser considerar como obter vantagens computacionais semelhantes com outros tipos de ondas, terá que se perguntar como pretende espremer uma quantidade exponencial de 'frequências' ou 'modos' distinguíveis em um espaço de energia limitado.

Finalmente, em uma nota prática, há uma questão de tolerância a falhas. Outro efeito colateral do comportamento de onda exibido por fenômenos de probabilidade é que você pode executar a correção de erros testando paridades ou, mais geralmente, treinamentos grosseiros de distribuições marginais. Sem essa facilidade, a computação quântica seria essencialmente limitada a uma forma de computação analógica, útil para alguns propósitos, mas limitada ao problema de sensibilidade ao ruído. Ainda não temos computação quântica tolerante a falhas em sistemas de computador construídos, mas sabemos que é possível em princípio e estamos buscando isso; considerando que não está claro como algo semelhante poderia ser alcançado com as ondas de água, por exemplo.

Alguns dos os outros respostas tocar nesse mesmo recurso da mecânica quântica: 'dualidade onda-partícula' é uma forma de expressar o fato de que temos algo probabilística sobre o comportamento das partículas individuais que são estão agindo como ondas, e observações sobre escalabilidade / o exponencialmente do espaço de configuração segue isso. Mas subjacente a essas descrições de nível um pouco mais alto está o fato de termos amplitudes quânticas, comportando-se como elementos de uma distribuição de probabilidade multivariada, evoluindo linearmente com o tempo e acumulando, mas que podem ser negativas e positivas.

O que diferencia a mecânica das ondas quânticas da clássica é que a onda é definida em um espaço de configuração com um grande número de dimensões. Na mecânica quântica não-relativística de graduação (que é boa o suficiente para uma discussão teórica da computação quântica), um sistema de partículas de ponto sem spin no espaço 3D é descrito por uma onda em R 3 n , que para n = 2 já não tem análogo na clássica mecânica. Todos os algoritmos quânticos exploram isso. Pode ser possível explorar a mecânica clássica de ondas para melhorar certos cálculos (computação analógica), mas não usando algoritmos quânticos.$n$$\mathbb{R}^{3n}$$n=2$

$\{0,1\}$$\mathbb{R}^3$$n$$n$$2^n$$2^n$

Não pretendo ter uma resposta completa (ainda! Espero atualizar isso, pois é uma questão interessante de tentar explicar bem). Mas deixe-me começar com alguns comentários esclarecedores ...

Mas se realmente é apenas uma interferência construtiva de estados complicados, por que não realizar essa interferência com ondas clássicas?

A resposta rápida é que não se trata apenas de interferência. Eu acho que o que realmente se resume é que a mecânica quântica usa diferentes axiomas de probabilidade (amplitudes de probabilidade) para a física clássica, e estes não são reproduzidos no cenário de ondas.

$L$

$^*$$\{A_n\}$

$^*$

$\{A_n\}$

Essa pode ser uma maneira de ver a diferença (ou pelo menos seguir na direção certa). Existe uma maneira de executar o cálculo quântico com base em medidas classificadas. Você prepara seu sistema em algum estado específico (o que, já concordamos, poderíamos fazer com nossos w-bits) e depois medimos os diferentes qubits. Sua escolha da base de medição determina o cálculo. Mas não podemos fazer isso aqui porque não temos essa escolha de base.

E, nesse caso, se a figura de mérito é simplesmente a quantidade de etapas em que algo pode ser calculado, por que não começar com um sistema dinâmico complicado que possui a computação desejada incorporada? (ou seja, por que não criar apenas "simuladores analógicos" para problemas específicos?)

$H$$t_0$$e^{iHt_0}$$2H$$t_0$$t_0/2$$H$

$H$$e^{-iHt_0}$

Ondas regulares podem interferir, mas não podem ser enredadas.
Um exemplo de um par de qubits emaranhados, que não pode acontecer com ondas clássicas, é dado na primeira frase da minha resposta a esta pergunta: Qual é a diferença entre um conjunto de qubits e um capacitor com uma placa subdividida?

O emaranhamento é considerado a coisa crucial que dá vantagem aos computadores quânticos em relação aos clássicos, uma vez que a superposição sozinha pode ser simulada por um computador clássico probabilístico (ou seja, um computador clássico mais uma moeda).

"por que não apenas executar essa interferência com ondas clássicas?"

Sim, essa é uma maneira de simular computadores quânticos em computadores digitais comuns. Simulamos as "ondas" usando aritmética de ponto flutuante. O problema é que ele não escala. Cada qubit dobra o número de dimensões. Para 30 qubits, você já precisa de cerca de 8 gigabytes de memória RAM apenas para armazenar o vetor de estado "wave", também conhecido como vetor de estado. Com cerca de 40 qubits, ficamos sem computadores grandes o suficiente para fazer isso.

Uma pergunta semelhante foi feita aqui: qual a diferença entre um conjunto de qubits e um capacitor com uma placa subdividida?