Explicação simplificada da transformação Shor / QFT como tachinha

Como programador não-matemático / software, estou tentando entender como o QFT (Quantum Fourier Transformation) funciona.

Após este vídeo do YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=wUwZZaI5u0c

E este post do blog: https://www.scottaaronson.com/blog/?p=208

Eu tenho um entendimento básico de como você pode calcular / construir o período usando interferência. Mas, ao tentar explicar isso a um colega, tive um problema. Eu usei os exemplos a seguir, N = 15, a = 7, então o período que preciso encontrar é r = 4.

O padrão é: 7, 4, 13, 1, 7, 4, 13, 1, 7, 4, 13, 1 (etc)

Se eu imaginar a roda (como no vídeo do YouTube) ou um relógio (como o post do blog), posso ver que o círculo com 4 pontos / relógio com 4 horas cria um padrão construtivo e os outros não.

Mas o que acontece com um círculo com 2 pontos ou um relógio com 2 horas, eles terão a mesma magnitude / padrão construtivo que 4? Loops duas vezes mais rápido, mas fora isso, o mesmo resultado?

Como o QFT lida com isso?

(Bônus: você pode explicar em termos leigos, sem muita matemática complicada?)

Deixe-me tentar dar uma resposta não convencional a esta pergunta:

As a non-mathematician/software programmer I'm trying to grasp
how QFT (Quantum Fourier Transformation) works.

Suponha que tenhamos um computador quântico capaz de manipular qubits. o$n$ estado quântico de um computador quântico descreve precisamente o estado atual desse computador quântico. É bem sabido que podemos expressar esse estado quântico como um vetor de números complexos. Vamos tentar visualizar esses números complexos de maneira compacta.$2^n$

Para esse fim, considere uma linha horizontal, na qual pontos são representados. Eles são rotulados de acordo com a respectiva posição na linha, ou seja, o primeiro ponto é rotulado com | 0 ⟩ , e os últimos pontos é rotulado por | 2 n$2^n$$|0\rangle$$|2^n-1\rangle$

Agora, tente imaginar que em todos os pontos, descritos acima, essa linha perfura um círculo de raio no meio. Ou seja, existem $1$$2^n$

$n$$n$$\times$$1$$1$

$\times$

$3$$3$

$3$$|0\rangle$$1$$|0\rangle$

A questão agora é o que acontece com o estado quântico quando aplicamos a Transformada quântica de Fourier. Acontece que, quando a Transformada quântica de Fourier é aplicada ao estado mostrado acima, o estado resultante do sistema quântico se torna:

$1/\sqrt{8}$ .

$|1\rangle$

Agora, se aplicarmos a Transformada quântica de Fourier, o estado resultante se tornará:

Podemos ver que o estado resultante se torna algum tipo de formato de hélice. Além disso, observe que, se adicionarmos um círculo extra à direita do estado mais à direita, a hélice concluirá exatamente uma revolução.

$|j\rangle$$j$$|3\rangle$

$3$

$j$$|j\rangle$ , que é o sentido oposto a partir do mapeamento foi considerado antes.

É essa idéia que é o componente crucial no algoritmo de Shor. A idéia central é pegar a sequência de números que você descreve:

7, 4, 13, 1, 7, 4, 13, 1, 7, 4, 13, 1 (etc)

$|4\rangle$ , isto é, o período desta sequência.

NOTA 1: Há muitos detalhes que pulei no parágrafo final. Porém, esta resposta já contém muitas informações, as quais acho que precisam ser aprofundadas antes que se possa tentar adicionar esses detalhes à imagem. Se alguém quiser que eu adicione esses detalhes, talvez eu o faça posteriormente.

$2^n$

No seu exemplo, o padrão é feito por uma função de multiplicação modular ou circuito f (x) = ax (mod N) Esse padrão e circuito quântico também é fornecido no manual IBM Q do IBM Q Experience .

Então, em um loop com entrada inicial x = 1

x = 1 f (x) = 7 * 1 (mod 15) = 7

x = 7 f (x) = 7 * 7 (mod 15) = 4

x = 4 => 13

x = 13 => 1

O padrão 1 7 4 13 1 é repetido a cada quarta vez. Portanto, o circuito é fixo para um dado a e mod 15 e sempre retorna r = 4. Se você deseja r = 2, precisa de outra função multiplicadora