Portão de Toffoli como FANOUT

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Eu estava procurando por exemplos de circuitos quânticos para exercitar com a programação Q # e me deparei com este circuito:

^{De : Exemplos de diagramas de circuitos quânticos - Michal Charemza}

Durante meus cursos introdutórios em computação quântica, fomos ensinados que a clonagem de um estado é proibida pelas leis da QM, enquanto neste caso o primeiro qubit de controle é copiado no terceiro qubit de destino.

Eu rapidamente tentei simular o circuito no Quirk, algo como isso , que confirma a clonagem do estado na saída no primeiro qubit. Medir o qubit antes do portão de Toffoli mostra que, na verdade, não é uma clonagem real, mas uma mudança no primeiro qubit de controle e uma saída igual no primeiro e no terceiro qubit.

Fazendo cálculos simples, pode-se mostrar que a "clonagem" acontece apenas se o terceiro qubit estiver no estado inicial 0 e que somente se no primeiro qubit não for executada uma "operação de rotação" (como indicado em Quirk) em Y ou X.

Eu tentei escrever um programa em Q # que só confirmava o que é mencionado acima.

Eu luto para entender como o primeiro qubit é alterado por essa operação e como algo semelhante a uma clonagem é possível.

Agradeço antecipadamente!

quantum-gate quirk cloning

— D-Brc
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É uma excelente pergunta e obrigado por se esforçar para formatá-la tão bem.

— user1271772

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Para simplificar a questão, considere o portão CNOT em vez do portão de Toffoli; CNOT também é fanout porque

\begin{aligned} | 0 0 ⟩ | 0 0 ⟩ \to | 0 0 ⟩ | 0 0 ⟩ \\ | 1 ⟩ | 0 0 ⟩ \to | 1 ⟩ | 1 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} |0\rangle|0\rangle \rightarrow |0\rangle|0\rangle\\ |1\rangle|0\rangle \rightarrow |1\rangle|1\rangle \end{align}$

$x\in\{0,1\}$

\begin{aligned} | x ⟩ | 0 0 ⟩ \to | x ⟩ | x ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} |x\rangle|0\rangle \rightarrow |x\rangle|x\rangle \end{align}$

$|\psi\rangle=\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$

\begin{aligned} (α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩) | 0 ⟩ \to α | 0 ⟩ | 0 ⟩ + β | 1 ⟩ | 1 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} (\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle)|0\rangle \rightarrow \alpha|0\rangle|0\rangle+ \beta|1\rangle|1\rangle \end{align}$

tão geralmente

\begin{aligned} | ψ ⟩ | 0 ⟩ ↛ | ψ ⟩ | ψ ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} |\psi\rangle|0\rangle\not\rightarrow|\psi\rangle|\psi\rangle \end{align}$

e fanout não é clonagem.

Quanto à questão de como o primeiro qubit é alterado - agora está emaranhado com o segundo qubit.

— kludg
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em outras palavras, porque o não-clonagem teorema diz que não pode haver qualquer capaz unitária para clonar nonorthogonal estados, enquanto os estados ortogonais podem ser clonados sem problemas

— GLS

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Boa pergunta! A resposta é que o teorema da não-clonagem afirma que você não pode clonar um estado desconhecido arbitrário .

$\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$ $|0\rangle$ $|1\rangle$

Portanto, é impossível para este circuito clonar um estado arbitrário $|\psi\rangle$ $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$

— user1271772
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| x ⟩

$|x\rangle$

| x ⟩

$|x\rangle$

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$

— user1271772

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O teorema da não clonagem diz que não há circuito que crie cópias independentes de todos os estados quânticos. Matematicamente, nenhuma clonagem afirma que:

\forall C : \exists a, b : C \cdot ((a | 0 ⟩ + b | 1 ⟩) \otimes | 0 ⟩) \neq (a | 0 ⟩ + b | 1 ⟩) \otimes (a | 0 ⟩ + b | 1 ⟩)

Os circuitos de fanout não violam esse teorema. Eles não fazem cópias independentes. Eles fazem cópias emaranhadas . Matematicamente, eles fazem:

ESPALHAM \cdot ((uma | 0 0 ⟩ + b | 1 ⟩) \otimes | 0 0 ⟩) = uma | 00 ⟩ + b | 11 ⟩

$\text{FANOUT} \cdot \Big( (a|0\rangle + b|1\rangle) \otimes |0\rangle \Big) = a|00\rangle + b|11\rangle$

— Craig Gidney
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