Número de portões necessários para aproximar unidades arbitrárias

Se bem entendi, devem existir operações unitárias que possam ser aproximadas a uma distância apenas por um número exponencial de portas quânticas e não menos. $\epsilon$

No entanto, pelo teorema de Solovay-Kitaev, qualquer operação unitária arbitrária em qubits, com fixo, pode ser aproximada a uma distância de usando portas universais poli (log (1 / )). $n$ $n$ $\epsilon$ $\epsilon$

Essas duas afirmações não parecem contraditórias? o que estou perdendo?

quantum-gate gate-synthesis solovay-kitaev-algorithm

— BlackHat18
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Na sua declaração, o número de gate é exponencial em relação a quê? A precisão?

— Nelimee

Eu acho que o número de qubits. Eu acho que entendi agora. Mantendo a precisão fixa, pode haver unidades que exigem um número exponencial de portas para simular, com relação ao número de qubits. Em contraste, pelo teorema de Solovay Kitaev, mantendo o número de qubits fixo, o número de portas quânticas universais para simulação é escalado polinomialmente em relação à precisão. Isso é o que é?

— BlackHat18

Sim, exatamente - você está comparando a escala em relação a dois parâmetros diferentes: precisão alcançável para um único portão de qubit em função do número de portas para algum conjunto universal finito e o número de portas necessárias para obter uma precisão determinada para os usuários unitários em função do número de qubits em que a unidade atua.

— DaftWullie

Se a pergunta não estiver mais sendo feita, o @ BlackHat18 poderia explicar o porquê como uma resposta. Qual é a política sobre isso?

— AHusain

A auto-resposta @AHusain BlackHat18 é permitida e incentivada

— glS

Respostas:

A escala completa será $O(4^n\text{poly}\left(\log\frac{1}{\epsilon}\right))$ , para que você realmente obtenha uma escala exponencial no número de qubits.

— Vai
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Observe que o teorema de Solovay-Kitaev vale para os unitários no qu $d$ it (seção 5 em DN05 ), então podemos definir $d=2^n$ para $n$ qubit unitário. Seguindo a mesma análise, obtemos

comprimento de porta sequências $l_{\epsilon} = O(\ln^{\ln 5/\ln(3/2)} (1/\epsilon))$ ,
tempo complexidade $t_{\epsilon} = O(\ln^{\ln 3/\ln(3/2)}(1/\epsilon))$ .

Agora a questão é o parâmetro de precisão $\epsilon$ . Como $SU(d)$ é o coletor de dimensões $(d^2-1)$ , de modo a aproximar cada porta em $SU(d)$ dentro de $\epsilon_0$ , geramos sequências $O(1/\epsilon_0^{d^2-1})$ .

Portanto, para qualquer conjunto universal específico de portas $\mathcal{G}$ o comprimento das seqüências de portas

l_{0} \geq O (\frac{d^{2} - 1}{\log | G |} \log (1 / ϵ_{0})) .

$l_0 \geq O\left(\frac{d^2-1}{\log |\mathcal{G}|} \log(1/\epsilon_0)\right).$

d = 2^{n}

$d=2^n$

n

$n$

l_{0} \sim 4^{n} p o l y \log (1 / ϵ)

$l_0 \sim 4^n \mathrm{poly}\log(1/\epsilon)$

n

$n$

— Yupan Liu
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