Quantos bits Alice e Bob precisam comparar para garantir que o canal esteja seguro no BB84?

Eu estava tentando estudar o qmc lendo o livro Quantum Computing A Gentle Introduction, na seção 2.4, ele fala sobre o protocolo de distribuição de chaves quânticas BB84. Depois (pensei), entendi que fui trabalhar nos exercícios 2.9 e 2.10.

Ex. 2.9 está perguntando quantos bits Alice e Bob precisam comparar para ter 90% de confiança de que não há Eve presente no BB84. Então, se eu entendi corretamente, BB84 é o seguinte:

1. Alice escolhe aleatoriamente uma base / polarização de fóton entre as duas bases e para codificar as informações de bit ou (a regra de codificação é conhecida, por exemplo, representa ). Então ela envia uma sequência desses fótons para Bob.$\{ | 0 \rangle, | 1 \rangle \}$$\{ |+\rangle, |-\rangle \}$$0$$1$$|0\rangle$$0$
2. Bob recebe a sequência de fótons e escolhe aleatoriamente uma base das duas mesmas bases e mede para cada um dos fótons.
3. Eles então comparam as bases que escolheram e descartam aquelas onde escolheram a base de maneira diferente. Bob deve ser capaz de descobrir que bit Alice está tentando enviar. (por exemplo, se a base que eles usam é e Bob mediu usando a base mas obteve intensidade de luz, ele sabe que a polarização de Alice era modo que informação de bit é ).$\{ |0\rangle, |1\rangle \}$$|1\rangle$$0$$|0\rangle$$0$
4. Para ser mais seguro, eles também comparam um subconjunto de bits, se não houver interferência, todos os bits devem concordar. Eles descartam esses bits e o que resta é a chave.

Eve, por outro lado, está tentando interceptar o fóton de Alice, mede-o aleatoriamente também das duas bases e envia a base que usa para medir a Bob. Depois que Alice e Bob publicamente comparam suas bases, Eve pode conhecer da chave, com certeza, embora ela inevitavelmente tenha mudado o fóton que Bob teria recebido.$25%$

Então, para responder à primeira pergunta ex. 2.9, listei diferentes cenários quando Alice e Bob comparam um subconjunto de bits:

Suponha que Alice envie um ,$|0\rangle$

1. Existe uma probabilidade de Eve também mede com , então ela não seria detectada.$0.25$$|0\rangle$

2. $0.25$ - Eve mede usando então ela seria detectada com certeza, pois Bob obterá o valor de bit oposto a Alice.$|1\rangle$

3. $0.25$| + ⟩ | + ⟩ | 0 ⟩ 0,5 | 1 ⟩ 0,5 0,25 x ( 0,5 + 0,5 ) = 0,25Chance de Eve mede usando , Bob agora receberá , se Bob usar e obter o mesmo com chances, caso contrário, se ele usar para medir, mas ainda assim terminar com o bit correto com chance. Ou seja,$|+\rangle$$|+\rangle$$|0\rangle$$0.5$$|1\rangle$$0.5$$0.25 \times (0.5 + 0.5) = 0.25$

4. Igual a 3, 0,25

Então, para resumir a probabilidade de Eve não ser detectada, é , e queremos que a sequência de bits que Eve não seja detectada seja menor que , o que gera , aproximadamente .$0.25 + 0 + 0.25 + 0.25 = 3/4$$10%$$(\frac{3}{4})^n < 0.1$$n=8$

A segunda questão 2.10c modifica um pouco a condição. Em vez de Eva escolher entre as duas bases conhecidas (a padrão e a ), ela não sabe qual escolher, então escolhe aleatoriamente e quantos bits A&B precisa. comparar para ter 90% de confiança?$+/-$

Minha abordagem é que, suponha que Alice ainda use a base padrão e ela envie um . Agora Eva pode medi-lo em sua base onde e , então Eve envia a base que usa para Bob novamente. Estou novamente listando os cenários,$\{|0\rangle |1\rangle \}$$|0\rangle$$\{ |e_1\rangle, |e_2\rangle \}$$|e_1\rangle = \cos\theta|0\rangle + \sin\theta|1\rangle$$|e_2\rangle = \sin\theta|0\rangle-\cos\theta|1\rangle$

1. Se Eve mede com (com chance de 0.5), então Bob recebe , se Bob mede com , ele obtém o bit correto com probabilidade, se ele mede em então ele obtém o bit correto com . Simultaneamente quando Eve usa$|e_1\rangle$$|e_1\rangle$$|0\rangle$$|\cos\theta|^2$$|1\rangle$$1 - |\sin\theta|^2=|\cos\theta|^2$$|e_2\rangle$

Resumindo, obtive , isso com certeza não está correto!$0.5\times(2|\cos\theta|^2)+0.5\times(2|\sin\theta|^2)=1$

Então tentei pesquisar online e encontrei uma solução aqui , onde diz que a probabilidade de Bob obter o bit correto é: $|\langle0|e_1\rangle\langle e_1|0\rangle|^2 + |\langle0|e_2\rangle\langle e_2|0\rangle|^2 =\cos^4\theta+\sin^4\theta$ , depois integre sobre $[0, \frac{\pi}{2}]$(normalizado por$\pi/2$) é$\frac{3}{4}$ que é novamente o mesmo que no ex2.9.

Alguém pode explicar por que é $\cos^4\theta+\sin^4\theta$ nos detalhes matemáticos e na intuição de alto nível (por exemplo, por que Eva ainda não sabe qual base usar ainda requer comparação de 8 bits para A&B?)?

Muito obrigado!

Sua análise da trapaça de Eve não parece muito correta (embora a resposta final esteja correta). O que você precisa dizer é: Suponha que Alice prepare um estado específico em uma das bases. Você pode assumir que é , mas você pode tornar o argumento mais genérico.$|0\rangle$

• Com 50% de probabilidade, Eve mede na mesma base que Alice preparou (a base 0/1 neste caso). É garantido que Eve obtém a mesma resposta (0) e, portanto, Bob ainda receberá a mesma resposta (0) porque estamos trabalhando especificamente no conjunto de casos em que Bob mede na mesma base que Alice. Eve não é detectada.

• Com 50% de probabilidade, Eve mede na outra base. Ela receberá uma resposta. Na verdade, não importa o que é (neste caso, ou ). Bob recebe qualquer que seja esse estado e mede na base original e obtém os dois resultados diferentes com probabilidade 50:50. Eve nunca aprende nada sobre o trecho escolhido por Alice, e ela é detectada metade do tempo.| - $|+\rangle$$|-\rangle$

No geral, Eve aprende o valor do bit na metade do tempo e é detectada em 1/4 dos casos. Agora, estritamente, você deve calcular a média de todas as entradas possíveis de Alice. Mas há simetria suficiente neste caso simples de que todos os resultados são iguais.

Na segunda pergunta, você perdeu uma característica importante: se Eve mudar sua base de medida, a probabilidade de obter os diferentes resultados varia (você a manteve em 1/2).

Agitação manual de alto nível: se Eve escolher uma base muito próxima da base 0/1, é quase garantido que ela obtenha a mesma resposta que o valor de bit que Alice estava enviando (se ela estivesse enviando na base 0/1) , e é quase garantido que ela não será detectada. À medida que você se afasta dessa base, Eve aprende menos e é mais provável que seja detectada. Mas o problema é que, se Alice usou a outra base, sua chance de ser detectada diminui e seu conhecimento sobre o bit melhora. Dito isto, não é um trade-off perfeito. Vou lhe mostrar por que com muita facilidade: imagine que Alice está usando as duas bases padrão. E se Eva medisse na base toda vez? É sempre$(|0\rangle\pm i|1\rangle)/\sqrt{2}$o caso (não importa em que base Alice escolher) que haja 50% de chance de Eve ser detectada.

$|0\rangle=\cos\theta|e_1\rangle+\sin\theta|e_2\rangle$$\cos^2\theta$$|e_1\rangle$$|0\rangle$$\cos^2\theta$$\sin^2\theta$$|e_2\rangle$$|0\rangle$ com probabilidade . Assim, a probabilidade geral de Bob não detectar nada é dado que Alice enviou$\sin^2\theta$

$$\cos^4\theta+\sin^4\theta=1-\frac12\sin^2(2\theta),$$ $|0\rangle$$|1\rangle$$|+\rangle$ . (Nesse momento, deve ficar claro que você precisava de um parâmetro de fase na sua definição de e se você realmente deseja a média de todas as bases possíveis, mas continuarei com sua definição.) Portanto, suponha que Alice enviou . Então, Eve obtém resposta com probabilidade , e Bob obtém resposta com probabilidade$|e_1\rangle$$|e_2\rangle$$|+\rangle=((\cos\theta+\sin\theta)|e_1\rangle-(\cos\theta-\sin\theta)|e_2\rangle)/\sqrt{2}$$|e_1\rangle$$(\cos\theta+\sin\theta)^2/2$$|+\rangle$$(\cos\theta+\sin\theta)^2/2$ . Portanto, no geral, a probabilidade de Eva não ser detectada é Na média de todas as entradas possíveis de Alice, obtemos desapareceu. Não precisamos calcular a média de todos os possíveis . No entanto, observe que, se tivéssemos introduzido corretamente uma fase na definição de $$\left(\frac{\cos\theta+\sin\theta}{\sqrt{2}}\right)^4+\left(\frac{\cos\theta-\sin\theta}{\sqrt{2}}\right)^4=1-\frac12\cos^2(2\theta).$$ $$\frac12\left(1-\frac12\cos^2(2\theta)\right)+ \frac12\left(1-\frac12\sin^2(2\theta)\right)=\frac34.$$ Neste ponto, o$\theta$$\theta$$\phi$$|e_1\rangle$, seria necessário realizar alguma média. Além disso, a solução que você cita não faz essa média corretamente. Lembre-se de que se você deseja converter de uma integral em coordenadas para uma integral em coordenadas , precisará de uma conversão. Você terá que executar uma integral que é algo como onde é a probabilidade de detectar Eva para um dado . (Você provavelmente deseja verificar cuidadosamente esta fórmula e verificar os fatores 2, como escrevi na memória. Fica um pouco confuso porque, dado que você usou um ângulo$(x,y)$$(r,\theta)$ $$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\int_{0}^{\pi/2}\sin(2\theta)d\theta f(\theta,\phi),$$ $f(\theta,\phi)$$\theta,\phi$$\theta$na definição de , que se traduz em um ângulo de na esfera de Bloch.)$|e_1\rangle$$2\theta$

A outra coisa que não calculamos é quanto Eva aprende. Se ela corresponder com o valor do bit 0 e com o valor do bit 1, ela estará correta com a probabilidade Você pode avaliar isso acima de , mas uma das coisas interessantes a observar é que, se Eve souber que duas bases estão sendo usadas, ela poderá otimizar seu valor de . O valor fornece a ela mais conhecimento (em média) dessa configuração ou (que são efetivamente os casos que você analisou na primeira pergunta.$|e_1\rangle$$|e_2\rangle$θθθ=

$$\frac12\left(\cos^2\theta+\left(\frac{\cos\theta+\sin\theta}{\sqrt{2}}\right)^2\right).$$ $\theta$$\theta$ θ=0π/$\theta=\frac{\pi}{8}$$\theta=0$$\pi/4$