Geometria das matrizes qutrit e Gell-Mann

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Preciso de algumas fontes úteis sobre a geometria do qutrit. Especificamente relacionado à representação da matriz de Gell-Mann.

resource-request qutrit state-space-geometry

— Azadeh Zohrabi
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Olá! Que informações específicas você está procurando sobre o relacionamento entre as matrizes de Gell-Mann e a geometria dos qutrits? Você gostaria de expandir um pouco sua pergunta?

— Niel de Beaudrap 18/09/19

arxiv.org/abs/1501.00054 página 9. Se isso corresponder ao tipo de coisa que você está procurando, expandirei mais.

— AHusain

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Existem várias maneiras de descrever geometricamente um sistema qutrit ou geral de nível Há também uma grande quantidade de referências, que explicam essas geometrias ou as aplicam a vários problemas na informação quântica. Vou tentar explicar aqui um método geométrico bastante geral, um pouco em detalhes. $N$

Esse método é uma generalização da esfera de Bloch do qubit, no entanto, o caso do qubit é degenerado porque a esfera de Bloch descreve o espaço de parâmetros dos qubits puros e mistos (mas não o caso maximamente misturado), enquanto que no caso geral, o A geometria do espaço do parâmetro depende da estrutura de degeneração dos valores próprios da matriz de densidade.

A descrição é baseada na fórmula de diagonalização da matriz de densidade de uma matriz geral de densidade de nível : Onde é a matriz de autovalores, que no caso mais geral tem a forma: $N$

ρ = você Λ {você}^{- 1}

$\rho = U \Lambda U^{-1}$

Λ

$\Lambda$

A matriz

é umamatriz unitária dimensional

, ou seja, pertencente aogrupo unitário

dimensional

.

Λ = d Eu uma g (\underset{N_{1} t Eu m e s}{\underset{⏟}{λ_{1}, λ_{1}, \dots}}, \underset{N_{2} t Eu m e s}{\underset{⏟}{λ_{2}, λ_{2}, \dots}}, . . . ., \underset{N_{k} t Eu m e s}{\underset{⏟}{λ_{k}, λ_{k}, \dots}})

$\Lambda = \mathrm{diag}(\underbrace{\lambda_1, \lambda_1, …}_{N_1 \mathrm{times}}, \underbrace{\lambda_2, \lambda_2, …}_{N_2 \mathrm{times}}, ...., \underbrace{\lambda_k, \lambda_k, …}_{N_k \mathrm{times}})$

U

$U$

N

$N$

N

$N$

U (N)

$U(N)$

Claro que, uma vez que estamos diagonalização uma matriz de densidade, que tem de ter: Verificação do vector de valores próprios, vemos que a acção de uma geral matriz unitária pertencente a um subgrupo mantém o valor próprio matriz diagonal, por conseguinte, o espaço das transformações unitárias que fazer alterar a densidade da matriz podem ser identificados com o espaço coset:

\sum_{Eu = 1}^{k} N_{Eu} λ_{Eu} = 1 uma n d λ_{Eu} \geq 0 0 f o r uma eu eu Eu

$\sum_{i=1}^{k}N_i \lambda_i = 1 \space\mathrm{and} \space \lambda_i \ge 0 \space \mathrm{for \space all}\space i$

N_{i}

$N_i$

U (N_{i})

$U(N_i)$

Os espaços acima são chamados de órbitas coadjuntas. Todos eles admitem parametrizações explícitas em coordenadas que permitem o trabalho real em casos específicos. Eles são compactos, homogêneos e Kähler, ou seja, são compatíveis e complexos e riemannianos. Eles são descritos de maneira bastante elementar notrabalhoa seguir de Bernatska e Holod. Por favor, veja o seguintetrabalhode Loi, Mossa e Zuddas para fórmulas explícitas de parametrização para casos gerais.

\frac{você (N)}{você (N_{1}) \times você (N_{2}) \dots \times você (N_{k})}

$\frac {U(N)}{U(N_1) \times U(N_2) … \times U(N_k)}$

d = N^{2} - \sum_{Eu} N_{Eu}^{2}

$d = N^2-\sum_i N_i^2$

Λ = d Eu uma g (1, 0 0, 0 0)

$\Lambda = \mathrm{diag}(1, 0, 0)$

C P^{2} = \frac{você (3)}{você (1) \times você (2)}

$\mathbb{C}P^2 = \frac {U(3)}{U(1) \times U(2)}$

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$4$

v = \frac{1}{\sqrt{1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2}}} (\begin{matrix} 1 \\ z_{1} \\ z_{2} \end{matrix})

$v = \frac{1}{\sqrt{1+|z_1|^2+|z_2|^2}}\begin{pmatrix}1 \\z_1 \\ z_2 \end{pmatrix}$

(z_{1}, z_{2})

$(z_1, z_2)$

C P^{2}

$\mathbb{C}P^2$

ρ (z_{1}, z_{2}, {\bar{z}}_{1}, {\bar{z}}_{2}) = v v^{†} = \frac{1}{1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2}} (\begin{matrix} 1 & {\bar{z}}_{1} & {\bar{z}}_{2} \\ z_{1} & z_{1} {\bar{z}}_{1} & z_{1} {\bar{z}}_{2} \\ z_{2} & z_{2} {\bar{z}}_{1} & z_{2} {\bar{z}}_{2} \end{matrix})

$\rho(z_1, z_2, \bar{z}_1, \bar{z}_2) = v v^{\dagger} = \frac{1}{1+|z_1|^2+|z_2|^2}\begin{pmatrix}1 &\bar{z}_1 & \bar{z}_2 \\ z_1 &z_1 \bar{z}_1 & z_1 \bar{z}_2 \\ z_2 &z_2 \bar{z}_1 & z_2 \bar{z}_2 \end{pmatrix}$

ω_{α \bar{β}} = t r \partial_{α} ρ {\bar{\partial}}_{β} ρ

$\omega_{\alpha \bar{\beta}} = \mathrm{tr}\partial_{\alpha} \rho \bar{\partial}_{\beta} \rho$

ω_{α \bar{β}} = \partial_{α} {\bar{\partial}}_{β} K

$\omega_{\alpha \bar{\beta}} = \partial_{\alpha} \bar{\partial}_{\beta} K$

K = \ln (1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2})

$K = \ln(1 + |z_1|^2 +|z_2|^2)$

G_{i}, i = 1, \dots, 8

$\mathbf{G}_i, \space i=1,…,8$

G (z_{1}, z_{2}, {\bar{z}}_{1}, {\bar{z}}_{2}) = t r (ρ (z_{1}, z_{2}, {\bar{z}}_{1}, {\bar{z}}_{2}) G_{i})

$G (z_1, z_2, \bar{z}_1, \bar{z}_2) = \mathrm{tr}(\rho(z_1, z_2, \bar{z}_1, \bar{z}_2) \mathbf{G}_i)$

$\mathbb{C}P^2$ $\mathfrak{su}(3)$

{G_{Eu}, G_{j}} = ω^{α \bar{β}} (\partial_{α} G_{Eu} {\bar{\partial}}_{α} G_{j} - \partial_{α} G_{j} {\bar{\partial}}_{α} G_{Eu})

$\{G_i, G_j\} = \omega^{\alpha \bar{\beta}} (\partial_{\alpha} G_i \bar{\partial}_{\alpha} G_j - \partial_{\alpha} G_j\bar{\partial}_{\alpha} G_i )$

$\omega$

Esta formulação do qutrit permite muitas aplicações na teoria da informação quântica; veja, por exemplo, Hughston e Salamon , onde eles constroem um SIC-POVM usando essa parametrização.

{UMA}_{α} = (\partial_{α} - {\bar{\partial}}_{α}) K

$A_{\alpha} = (\partial_{\alpha} - \bar{\partial}_{\alpha })K$

$\mathbb{C}P^N$

$\mathbb{C}P^2$

g_{α \bar{β}} = \frac{(1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2}) δ_{α β} - z_{α} \bar{z_{β}}}{(1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2})^{2}}

$g_{\alpha \bar{\beta}}= \frac{(1 + |z_1|^2 +|z_2|^2)\delta_{\alpha \beta}-z_{\alpha} \bar{z_{\beta}} }{(1 + |z_1|^2 +|z_2|^2)^2}$

— David Bar Moshe
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ω_{K K S}

$\omega_{KKS}$

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@AHusain Obrigado pela referência! e obrigado por mencionar a relação da métrica com a matriz de informações de Fisher. Na verdade, a primeira equação acima para a forma KKS é idêntica à equação em sua Proposição II.2. , expresso em coordenadas complexas. Como mencionei, esses autores não usam a mesma parametrização complexa. Eles preferem trabalhar no espaço tangente. Isso é possível porque o coletor é homogêneo, porém é difícil avaliar em sua parametrização as quantidades geométricas globais, como qual é o volume do espaço de estados.

— David Bar Moshe

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Sim, é difícil. A mesma variedade com a estrutura de informações de Fisher, em vez da estrutura de Kahler, é muito mais feia. Os autores desse artigo e eu tentamos ver qual é a diferença entre as fases de Berry das duas estruturas, mas nada bonito.

— AHusain

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I need some useful sources about the geometry of qutrit.

O recurso mais útil que conheço sobre as geometrias de qutrits é o artigo Geometria da esfera de Bloch generalizada para qutrits .

Specifically related to the Gell-Mann matrix representation.

As oito matrizes de Gell-Mann, que formam uma das generalizações das matrizes de Pauli para sistemas de três níveis, estão envolvidas no que às vezes é chamado de "representação Bloch de um qutrit". Isso está descrito na página 4 do documento vinculado acima.

Se você está interessado na matemática da geometria dos qutrits, o recurso acima é provavelmente o melhor disponível. Se você está mais interessado na visualização de qutrits, o artigo Visualização tridimensional de um qutrit é o melhor recurso que conheço. Lembre-se de que generalizações da esfera de Bloch para qudits de dimensões mais altas nunca serão tão simples e elegantes quanto a esfera de Bloch é para sistemas de dois níveis, assim como as hiperesferas 4D não são tão fáceis de visualizar quanto as esferas 3D.

— user1271772
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