Existe uma regra simples para o inverso da mesa estabilizadora de um circuito de Clifford?

Em Simulação Aprimorada de Circuitos Estabilizadores de Aaronson e Gottesman, é explicado como calcular uma tabela que descreve quais produtos tensores Pauli os X e Z observáveis de cada qubit são mapeados quando um circuito de Clifford atua sobre eles.

Aqui como um exemplo de circuito de Clifford:

0: -------@-----------X---
          |           |
1: ---@---|---@---@---@---
      |   |   |   |
2: ---|---|---@---|-------
      |   |       |
3: ---@---@-------Y-------

E a tabela que descreve como ela atua nos observáveis X e Z de cada qubit:

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   X_   __   Z_   |
| 1    | ZZ   YZ   Z_   ZZ   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   X_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   ++   ++   ++  |
+------+---------------------+-

Cada coluna da tabela descreve como o circuito atua no X observável (metade esquerda da coluna) e Z (observada na metade direita da coluna) de cada qubit. Por exemplo, o lado esquerdo da coluna 3 é Z, Z, _, X, significando uma operação X3 (Pauli X no qubit 3) no lado direito do circuito é equivalente a uma operação Z1 * Z2 * X4 na mão esquerda lado do circuito. A linha 'sinal' indica o sinal do produto, o que é importante se você deseja simular uma medição (informa se você deve ou não inverter o resultado).

Você também pode calcular a tabela para o inverso de um circuito. No caso de exemplo que eu dei, a tabela inversa é esta:

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   Y_   __   Z_   |
| 1    | _Z   YZ   Z_   _Z   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   Y_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   -+   ++   ++  |
+------+---------------------+-

As tabelas terão a mesma aparência se você transpor suas linhas e colunas. Mas as entradas não são exatamente idênticas. Além da transposição, você deve codificar as letras em bits ( _= 00, X= 01, Z= 10, Y= 11) e depois trocar os bits do meio e decodificar. Por exemplo, ZZ codifica para 1010 que troca para 1100 que decodifica para Y_.

A pergunta que tenho é: existe também uma regra simples para calcular os sinais da tabela inversa?

Atualmente, estou invertendo essas tabelas decompondo-as em circuitos, invertendo os circuitos e depois multiplicando-os novamente. É extremamente ineficiente comparado a transpor + substituir, mas se eu vou usar transpor + substituir, preciso de uma regra de sinal.

pauli-gates clifford-group

— Craig Gidney
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Para esclarecer a questão: Deixe o circuito Clifford ser . A leitura da ésima coluna indica e dependendo da metade esquerda ou direita usada. E você deseja e partir desses dados.

U

$U$

j

$j$

U X_{j} U^{†}

$U X_j U^\dagger$

U Z_{j} U^{†}

$U Z_j U^\dagger$

U^{†} X_{j} U

$U^\dagger X_j U$

U^{†} Z_{j} U

$U^\dagger Z_j U$

— AHusain

@AHusain Correct.

— Craig Gidney

Para esclarecer a pergunta: o que os @ s significam no seu circuito de Clifford?

— Josu Etxezarreta Martinez

@JosuEtxezarretaMartinez Esses são controles. Quando dois estão conectados, é um portão CZ. @ conectado a um X é um X controlado. @ conectado a Y é um Y controlado.

— Craig Gidney 24/09

Respostas:

Existe uma representação muito próxima da representação do quadro de Aaronson (e Gottesman) , que funciona não apenas para qubits, mas também para qudits de dimensão finita arbitrária, que funciona particularmente bem para circuitos puramente de Clifford ( ou seja, no máximo uma medição terminal).

Nesta representação alternativa, há quadros descrevendo como os operadores X e Z de um qubit único se transformam, com informações de fase, como na representação usual. As colunas descrevem os operadores Weyl com vários qubit especificamente, que são um subconjunto especial dos operadores Pauli. A vantagem de fazer isso é que o quadro não é apenas uma matriz de coeficientes, mas um operador linear real nos vetores que representam operadores e fases de Weyl.

Há uma pequena captura. Para qubits, esses vetores têm coeficientes que são números inteiros no módulo 4 (correspondendo a uma cobertura dupla dos operadores Pauli não triviais de um qubit único pelos operadores Weyl), em vez do módulo 2. Acho que esse é um preço pequeno a pagar - embora eu pode ser um pouco tendencioso, pois é o meu próprio resultado [ arXiv: 1102.3354 ]. No entanto, parece ser uma representação algo "natural": Appleby desenvolveu o caso especial de qubit único ou qudit um pouco antes [ arXiv: quant-ph / 0412001 ] (algo que eu realmente gostaria de saber antes de passar dois anos desnecessariamente recriar essencialmente as mesmas convenções).

Usando essa representação, em virtude do fato de que o 'quadro' $M_C$ de um circuito $C$ Clifford agora é uma matriz real (e uma inversível) que transforma vetores, o quadro do circuito inverso $C^{\dagger}$ é então o inverso $M_C^{-1}$ do quadro. Portanto, pelo menos para essa representação intimamente relacionada, a regra para calcular o quadro para o circuito inverso é fácil.

— Niel de Beaudrap
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Você poderia criar um link para slides ou notas de aula descrevendo os operadores Weyl?

— Craig Gidney 24/09

Isso está de alguma forma relacionado à substituição da "base Pauli" {I, X, Y, Z} pela "base quaternária" {I, iX, iY, iZ} ao rastrear os vetores do produto?

— Craig Gidney 24/09

Presumivelmente, quando se fala de qubits, o artigo original é este um

— DaftWullie

W_{a, b} = i^{- (a \codt b)} Z_{a} X_{b}

$W_{\mathbf a,\mathbf b}=i^{-(\mathbf a\codt\mathbf b)}Z_{\mathbf a}X_{\mathbf b}$

a, b \in Z_{4}^{n}

$\mathbf a,\mathbf b\in\mathbb Z^n_4$

— Niel de Beaudrap

@DaftWullie: Não, [arXiv: quant-ph / 9608006 ] é estritamente diferente. Eles indexam potências de X e Z por vetores mod 2 (veja o texto que precede a Eq.2), o que se reflete na estrutura de grupo aditivo de GF (4). Suas observações sobre transformações simpléticas na p.8 aplicam-se assim às fases do módulo do grupo Pauli. Appleby e eu não reivindicamos ser os primeiros a ter uma representação sofisticada para o grupo Pauli em qubits: o ponto é que nossa representação rastreia mais graciosamente as fases. Isso é menos importante para descobrir QECCs, mas crucial para simular estados.

— Niel de Beaudrap 25/09

$2N$ $N$ $N$ $N$ $X$ $X_1Z_2$ $N=2$ $8\times 8$

M = (\begin{array}{cc} UMA & B \\ C & D \end{array}),

$M=\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right),$

N \times N

$N\times N$

(\begin{array}{cc} UMA & B \\ C & D \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 0 0 & Eu \\ Eu & 0 0 \end{array}) \cdot {(\begin{array}{cc} UMA & B \\ C & D \end{array})}^{T} \equiv 0 0 mod 2

$\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc} 0 & \mathbb{I} \\ \mathbb{I} & 0 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)^T\equiv 0\text{ mod }2$

M

$M$

(\begin{array}{cc} D^{T} & B^{T} \\ C^{T} & {UMA}^{T} \end{array})

$\left(\begin{array}{cc} D^T & B^T \\ C^T & A^T \end{array}\right)$

2 \times 2

$2\times 2$

A bagunça, é claro, vem de acompanhar as fases. Acho que os sinais estarão relacionados a uma mudança no número de operadores Y em cada estabilizador, mas não consegui um tratamento unificado. A resposta de Niel provavelmente faz um trabalho melhor em cuidar dela automaticamente.

— DaftWullie
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